Soluzione D1-55 (Figura D1.5 condizione 5 S.M. Targ 1989)

Soluzione al problema D1-55 (Figura D1.5, condizione 5, S.M. Targ, 1989)

In un tubo curvo ABC situato in un piano verticale c'è un carico di massa D che si muove. Le sezioni del tubo possono essere inclinate o orizzontali (vedere Figure D1.0 - D1.9 e Tabella D1). Nel punto A il carico riceve una velocità iniziale v0. Nella sezione AB, oltre alla Forza di gravità, sul carico agiscono una Forza costante Q (la sua direzione è indicata nelle Figure) e una Forza resistente del mezzo R, che dipende dalla velocità v del carico e è diretto contro il movimento. Non viene preso in considerazione l'attrito del carico sul tubo nella sezione AB. Nel punto B il carico si sposta nel tratto BC del tubo senza variare la sua velocità, dove agisce una forza di attrito (coefficiente di attrito del carico sul tubo f = 0,2) e una forza variabile F, la proiezione di quale Fx sull'asse x è riportato nella tabella. Il carico è considerato un punto materiale. Indichiamo la distanza AB con l, il tempo di movimento del carico dal punto A al punto B con t1. Trascureremo l'attrito del carico sul tubo nella sezione BC.

È necessario trovare la legge del movimento delle merci sulla sezione dell'aeromobile, ad es. espressione per la coordinata x del punto D in funzione del tempo t, cioè x = f(t), dove x = BD.

La soluzione a questo problema può essere divisa in due parti: lo spostamento del carico nella sezione AB e lo spostamento nella sezione BC.

Movimento di merci nella sezione AB.

Sul carico agiscono la forza di gravità D, la forza costante Q e la forza di resistenza del mezzo R. La seconda legge di Newton per il carico ha la forma:

D - Q - R = Dv,

dove v è la velocità del carico.

Considerando che la forza resistente del mezzo R è proporzionale alla velocità v, cioè R = kv, dove k è una costante, otteniamo:

D - Q - kv = Dv.

Pertanto, l'equazione per il movimento del carico nella sezione AB ha la forma:

Dv + kv = D - Q.

Introduciamo la seguente notazione:

a = k/D, b = Q/D.

Allora l’equazione del moto può essere scritta come:

v' + av = 1 - b,

dove v' = dv/dt.

La soluzione di questa equazione differenziale lineare è:

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

dove C è la costante di integrazione, che si ricava dalle condizioni iniziali. Nel punto A il carico ha una velocità iniziale v0, quindi C = (v0 - (1 - b)/a).

Pertanto, la velocità del carico nella sezione AB è pari a:

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

Integrando la velocità, troviamo la legge di movimento del carico nella sezione AB:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2.

Movimentazione delle merci sulla sezione aeromobili.

Sul carico agiscono la gravità D, la forza variabile F e la forza di attrito. La seconda legge di Newton per il carico ha la forma:

D - F - fN = Dv',

dove N è la forza normale, f è il coefficiente di attrito.

Considerando che la forza normale è pari al peso del carico sulla sezione dell'aeromobile, cioè N = D, e la proiezione della forza F sull'asse x, pari a Fx, può essere espressa in termini di tempo t, si ottiene:

F = Fx(t).

Pertanto, l'equazione per il movimento del carico sulla sezione dell'aeromobile ha la forma:

Dv' = D - Fx(t) - fD.

Risolvendo questa equazione differenziale, troviamo la legge del movimento del carico sulla sezione dell'aeromobile:

x = l + v*t-(1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Quindi, la legge del movimento delle merci nella sezione dell'aeromobile ha la forma:

x = l + v*t-(1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Pertanto, la legge completa sulla circolazione delle merci nella sezione ABC può essere scritta come:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at^2 + l + vt - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Risultato: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at^2 - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

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La soluzione D1-55 descrive il movimento di un carico di massa m, che riceve una velocità iniziale v0 nel punto A e si muove lungo un tubo curvo ABC situato in un piano verticale. Nella sezione AB, oltre alla forza di gravità, sul carico agiscono una forza costante Q e una forza resistente del mezzo R, che dipende dalla velocità del carico. Nel punto B il carico si sposta nella sezione BC, dove, oltre alla forza di gravità, agisce la forza di attrito e la forza variabile F. Il coefficiente di attrito del carico sul tubo è f = 0,2.

Per trovare la legge di spostamento del carico nella sezione BC è necessario conoscere la distanza AB=l oppure il tempo t1 di spostamento del carico dal punto A al punto B. L'attrito del carico sul tubo nella sezione AB è trascurato.

Il compito è trovare la funzione x=f(t), dove x=BD è la distanza dal punto B al punto D e t è il tempo di movimento del carico sulla sezione dell'aereo. Per risolvere il problema è necessario utilizzare i dati della tabella e delle figure D1.0-D1.9.

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