Solución D1-55 (Figura D1.5 condición 5 S.M. Targ 1989)

Solución al problema D1-55 (Figura D1.5, condición 5, S.M. Targ, 1989)

Hay una carga de masa D que se mueve en un tubo curvo ABC ubicado en un plano vertical. Las secciones de tubería pueden ser inclinadas u horizontales (consulte las Figuras D1.0 - D1.9 y la Tabla D1). En el punto A, la carga recibe una velocidad inicial v0. En la sección AB, además de la Fuerza de gravedad, sobre la carga actúan una Fuerza constante Q (su dirección se indica en las Figuras) y una Fuerza de resistencia del medio R, que depende de la velocidad v de la carga y está dirigido contra el movimiento. No se tiene en cuenta la fricción de la carga sobre la tubería en la sección AB. En el punto B, la carga se mueve hasta la sección BC de la tubería sin cambiar su velocidad, donde actúa sobre ella una fuerza de fricción (coeficiente de fricción de la carga sobre la tubería f = 0,2) y una fuerza variable F, la proyección de cuyo Fx en el eje x se da en la tabla. La carga se considera un punto material. Denotamos la distancia AB con l, el tiempo de movimiento de la carga desde el punto A al punto B con t1. Despreciaremos la fricción de la carga sobre la tubería en la sección BC.

Es necesario encontrar la ley del movimiento de carga en la sección del avión, es decir expresión para la coordenada x del punto D dependiendo del tiempo t, es decir x = f(t), donde x = BD.

La solución a este problema se puede dividir en dos partes: el movimiento de la carga en la sección AB y el movimiento en la sección BC.

Movimiento de carga en el tramo AB.

Sobre la carga actúan la fuerza de gravedad D, la fuerza constante Q y la fuerza de resistencia del medio R. La segunda ley de Newton para la carga tiene la forma:

D - Q - R = Dv,

donde v es la velocidad de la carga.

Considerando que la fuerza de resistencia del medio R es proporcional a la velocidad v, es decir R = kv, donde k es una constante, obtenemos:

D - Q - kv = Dv.

Por tanto, la ecuación para el movimiento de carga en la sección AB tiene la forma:

Dv + kv = D - Q.

Introduzcamos la siguiente notación:

a = k/D, b = Q/D.

Entonces la ecuación de movimiento se puede escribir como:

v' + av = 1 - b,

donde v' = dv/dt.

La solución a esta ecuación diferencial lineal es:

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

donde C es la constante de integración, que se puede encontrar a partir de las condiciones iniciales. En el punto A, la carga tiene una velocidad inicial v0, por lo tanto, C = (v0 - (1 - b)/a).

Por tanto, la velocidad de la carga en la sección AB es igual a:

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

Integrando la velocidad encontramos la ley del movimiento de la carga en la sección AB:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2.

Movimiento de carga en la sección de aeronaves.

Sobre la carga actúan la gravedad D, la fuerza variable F y la fuerza de fricción. La segunda ley de Newton para la carga tiene la forma:

D - F - fN = Dv',

donde N es la fuerza normal, f es el coeficiente de fricción.

Considerando que la fuerza normal es igual al peso de la carga en la sección del avión, es decir N = D, y la proyección de la fuerza F sobre el eje x, igual a Fx, se puede expresar en términos de tiempo t, obtenemos:

F = Fx(t).

Por tanto, la ecuación para el movimiento de carga en una sección del avión tiene la forma:

Dv' = D - Fx(t) - fD.

Resolviendo esta ecuación diferencial, encontramos la ley del movimiento de la carga en la sección del avión:

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Entonces, la ley del movimiento de carga en una sección de la aeronave tiene la forma:

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Así, la ley completa del movimiento de carga en la sección ABC se puede escribir como:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at^2 + l + vt - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Siguiente: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at^2 - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

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La solución D1-55 describe el movimiento de una carga de masa m, que recibe una velocidad inicial v0 en el punto A y se mueve a lo largo de una tubería curva ABC ubicada en un plano vertical. En la sección AB, además de la fuerza de gravedad, sobre la carga actúan una fuerza constante Q y una fuerza de resistencia del medio R, que depende de la velocidad de la carga. En el punto B, la carga se mueve a la sección BC, donde, además de la fuerza de gravedad, actúa sobre ella la fuerza de fricción y la fuerza variable F. El coeficiente de fricción de la carga sobre la tubería es f = 0,2.

Para encontrar la ley del movimiento de la carga en la sección BC, es necesario conocer la distancia AB=l o el tiempo t1 de movimiento de la carga desde el punto A al punto B. La fricción de la carga sobre la tubería en la sección AB está descuidado.

La tarea consiste en encontrar la función x=f(t), donde x=BD es la distancia del punto B al punto D, y t es el tiempo de movimiento de la carga en la sección del avión. Para resolver el problema es necesario utilizar los datos de la tabla y las figuras D1.0-D1.9.

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