솔루션 D1-55(그림 D1.5 조건 5 S.M. Targ 1989)

문제 D1-55에 대한 해결책(그림 D1.5, 조건 5, S.M. Targ, 1989)

수직면에 위치한 곡선 파이프 ABC에서 움직이는 질량 D의 하중이 있습니다. 파이프 단면은 기울어지거나 수평이 될 수 있습니다(그림 D1.0 - D1.9 및 표 D1 참조). A 지점에서 부하는 초기 속도 v0을 받습니다. 섹션 AB에서는 중력 외에도 하중이 일정한 힘 Q(그 방향은 그림에 표시되어 있음)와 하중의 속도 v에 따라 달라지는 매체 저항력 R에 의해 작용합니다. 움직임에 반대하는 방향입니다. 섹션 AB에서 파이프에 가해지는 하중의 마찰은 고려되지 않습니다. 지점 B에서 하중은 속도를 변경하지 않고 파이프의 BC 섹션으로 이동하며, 여기서 마찰력(파이프에 대한 하중의 마찰 계수 에프 = 0.2)과 가변 힘 F에 의해 작용합니다. x축의 Fx는 표에 나와 있습니다. 하중은 중요한 점으로 간주됩니다. 거리 AB를 l로 표시하고, 하중이 A 지점에서 B 지점으로 이동하는 시간을 t1로 표시합니다. BC 구간에서는 파이프에 가해지는 하중의 마찰을 무시하겠습니다.

항공기 구간에서 화물 이동 법칙을 찾는 것이 필요합니다. 시간 t에 따른 점 D의 x 좌표에 대한 표현, 즉 x = 에프(t), 여기서 x = BD입니다.

이 문제에 대한 해결책은 AB 구간의 하중 이동과 BC 구간의 하중 이동이라는 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

1. 섹션 AB에서의 화물 이동.

하중은 중력 D, 일정한 힘 Q 및 매체의 저항력 R에 의해 작용합니다. 하중에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

D - Q - R = Dv,

여기서 v는 부하의 속도입니다.

매체 R의 저항력이 속도 v에 비례한다는 점을 고려하면, 즉 R = kv, 여기서 k는 상수이며 다음을 얻습니다.

D - Q - kv = Dv.

따라서 섹션 AB의 화물 이동 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

Dv + kv = D - Q.

다음 표기법을 소개하겠습니다.

a = k/D, b = Q/D.

그러면 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

v' + av = 1 - b,

여기서 v' = dv/dt입니다.

이 선형 미분 방정식의 해는 다음과 같습니다.

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

여기서 C는 초기 조건에서 찾을 수 있는 적분 상수입니다. 지점 A에서 하중은 초기 속도 v0을 갖습니다. 따라서 C = (v0 - (1 - b)/a)입니다.

따라서 섹션 AB의 하중 속도는 다음과 같습니다.

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

속도를 통합함으로써 섹션 AB에서 부하 이동 법칙을 찾을 수 있습니다.

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)카/아t^2.

1. 항공기 구역에서의 화물 이동.

하중은 중력 D, 가변 힘 F 및 마찰력에 의해 작용합니다. 하중에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

D - F - 에프N = Dv',

여기서 N은 수직력이고, 에프는 마찰 계수입니다.

수직력은 항공기 단면에 가해지는 하중의 무게와 동일하다는 점을 고려하면, 즉 N = D이고 x축에 대한 힘 F의 투영(Fx와 동일)은 시간 t로 표현될 수 있으며 다음을 얻습니다.

F = Fx(t).

따라서 항공기 섹션의 화물 이동 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

Dv' = D - Fx(t) - fD.

이 미분 방정식을 풀면 항공기 섹션의 하중 이동 법칙을 찾을 수 있습니다.

x = l + v*티 - (1/2)FX(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

따라서 항공기 섹션의 화물 이동 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = l + v*티 - (1/2)FX(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

따라서 섹션 ABC의 전체 화물 이동 법칙은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)카/아t^2 + l + vt - (1/2)FX(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

답: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)카/아t^2 - (1/2)FX(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

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해법 D1-55는 A 지점에서 초기 속도 v0를 받고 수직 평면에 위치한 곡선 파이프 ABC를 따라 이동하는 질량 m의 하중의 이동을 설명합니다. 섹션 AB에서는 중력 외에도 하중의 속도에 따라 달라지는 일정한 힘 Q와 매체의 저항력 R에 의해 하중이 작용합니다. B 지점에서 하중은 BC 섹션으로 이동하며, 여기서 중력 외에도 마찰력과 가변 힘 F의 영향을 받습니다. 파이프에 가해지는 하중의 마찰 계수는 f = 0.2입니다.

단면 BC에서 하중의 이동 법칙을 찾으려면 거리 AB=l 또는 A 지점에서 B 지점으로 하중이 이동하는 시간 t1을 알아야 합니다. 단면 AB에서 파이프에 가해지는 하중의 마찰 무시됩니다.

임무는 함수 x=f(t)를 찾는 것입니다. 여기서 x=BD는 B 지점에서 D 지점까지의 거리이고 t는 항공기 구간에서 화물이 이동하는 시간입니다. 문제를 해결하려면 표와 그림 D1.0-D1.9의 데이터를 사용해야 합니다.

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