Lösung D1-55 (Abbildung D1.5 Bedingung 5 S.M. Targ 1989)

Lösung Für Problem D1-55 (Abbildung D1.5, Bedingung 5, S.M. Targ, 1989)

In einem gebogenen Rohr ABC, das sich in einer vertikalen Ebene beFindet, bewegt sich eine Last der Masse D. Rohrabschnitte können geneigt oder horizontal sein (siehe Abbildungen D1.0 - D1.9 und Tabelle D1). Am Punkt A erhält die Last eine AnFangsgeschwindigkeit v0. Im Abschnitt AB wirkt auF die Last zusätzlich zur Schwerkraft eine konstante Kraft Q (ihre Richtung ist in den Abbildungen angegeben) und eine Widerstandskraft des Mediums R, die von der Geschwindigkeit v der Last und abhängt richtet sich gegen die Bewegung. Die Reibung der Last am Rohr im Abschnitt AB wird nicht berücksichtigt. Am Punkt B bewegt sich die Last ohne Geschwindigkeitsänderung zum Abschnitt BC des Rohres, wo auf sie eine Reibungskraft (Reibungskoeffizient der Last am Rohr f = 0,2) und eine variable Kraft F, die Projektion von, einwirken welches Fx auf der x-Achse in der Tabelle angegeben ist. Die Last gilt als Materialpunkt. Den Abstand AB bezeichnen wir mit l, die Zeit der Bewegung der Last von Punkt A nach Punkt B mit t1. Die Reibung der Last am Rohr im Abschnitt BC vernachlässigen wir.

Es ist notwendig, das Gesetz der Frachtbewegung im Flugzeugabschnitt zu finden, d.h. Ausdruck für die x-Koordinate des Punktes D in Abhängigkeit von der Zeit t, d.h. x = f(t), wobei x = BD.

Die Lösung dieses Problems kann in zwei Teile unterteilt werden: die Bewegung der Last im Abschnitt AB und die Bewegung im Abschnitt BC.

1. Güterbewegung auf Abschnitt AB.

Auf die Last wirken die Schwerkraft D, die konstante Kraft Q und die Widerstandskraft des Mediums R. Das zweite Newtonsche Gesetz für die Last hat die Form:

D – Q – R = Dv,

Dabei ist v die Geschwindigkeit der Last.

Bedenkt man, dass die Widerstandskraft des Mediums R proportional zur Geschwindigkeit v ist, d.h. R = kv, wobei k eine Konstante ist, erhalten wir:

D – Q – kv = Dv.

Somit hat die Gleichung für die Ladungsbewegung im Abschnitt AB die Form:

Dv + kv = D - Q.

Führen wir die folgende Notation ein:

a = k/D, b = Q/D.

Dann kann die Bewegungsgleichung geschrieben werden als:

v' + av = 1 - b,

wobei v' = dv/dt.

Die Lösung dieser linearen Differentialgleichung lautet:

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

wobei C die Integrationskonstante ist, die aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden kann. Am Punkt A hat die Last eine Anfangsgeschwindigkeit v0, daher ist C = (v0 - (1 - b)/a).

Somit ist die Geschwindigkeit der Last im Abschnitt AB gleich:

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

Durch Integration der Geschwindigkeit finden wir das Bewegungsgesetz der Last im Abschnitt AB:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2.

1. Frachtbewegung im Flugzeugbereich.

Auf die Last wirken die Schwerkraft D, die variable Kraft F und die Reibungskraft. Newtons zweites Lastgesetz hat die Form:

D - F - fN = Dv',

wobei N die Normalkraft und f der Reibungskoeffizient ist.

Wenn man bedenkt, dass die Normalkraft gleich dem Gewicht der Last auf dem Flugzeugabschnitt ist, d. h. N = D und die Projektion der Kraft F auf die x-Achse, gleich Fx, kann als Zeit t ausgedrückt werden, wir erhalten:

F = Fx(t).

Somit hat die Gleichung für die Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt die Form:

Dv' = D - Fx(t) - fD.

Wenn wir diese Differentialgleichung lösen, finden wir das Bewegungsgesetz der Last auf dem Flugzeugabschnitt:

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Das Gesetz der Frachtbewegung auf dem Flugzeugabschnitt hat also die Form:

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Somit kann das vollständige Gesetz der Ladungsbewegung im Abschnitt ABC wie folgt geschrieben werden:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at^2 + l + vt - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

Antwort: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at^2 - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2.

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Lösung D1-55 beschreibt die Bewegung einer Last der Masse m, die am Punkt A eine Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält und sich entlang eines gekrümmten Rohrs ABC bewegt, das in einer vertikalen Ebene liegt. Im Abschnitt AB wirkt auf die Last zusätzlich zur Schwerkraft eine konstante Kraft Q und eine Widerstandskraft des Mediums R, die von der Geschwindigkeit der Last abhängt. Am Punkt B bewegt sich die Last in den Abschnitt BC, wo zusätzlich zur Schwerkraft die Reibungskraft und die variable Kraft F auf sie einwirken. Der Reibungskoeffizient der Last am Rohr beträgt f = 0,2.

Um das Bewegungsgesetz der Last im Abschnitt BC zu finden, muss man den Abstand AB=l oder die Zeit t1 der Bewegung der Last von Punkt A nach Punkt B kennen. Die Reibung der Last am Rohr im Abschnitt AB wird vernachlässigt.

Die Aufgabe besteht darin, die Funktion x=f(t) zu finden, wobei x=BD die Entfernung von Punkt B zu Punkt D und t die Zeit der Bewegung der Fracht auf dem Flugzeugabschnitt ist. Zur Lösung des Problems ist es notwendig, Daten aus der Tabelle und den Abbildungen D1.0-D1.9 zu verwenden.

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