解決策 D1-55 (図 D1.5 条件 5 S.M. Targ 1989)

問題 D1-55 の解決策 (図 D1.5、条件 5、S.M. Targ、1989)

垂直面内にある湾曲したパイプ ABC 内を移動する質量 D の荷重があります。パイプの断面は傾斜していても水平であっても構いません (図 D1.0 ～ D1.9 および表 D1 を参照)。点 A で、負荷は初速度 v0 を受け取ります。セクション AB では、重力に加えて、荷重には一定の力 Q (方向は図に示されています) と、荷重の速度 v に依存する媒体の抵抗力 R が作用します。運動に反対する方向に向けられています。セクション AB のパイプにかかる荷重の摩擦は考慮されていません。点 B では、荷重は速度を変えずにパイプのセクション BC に移動します。そこで、荷重は摩擦力 (パイプ上の荷重の摩擦係数 f = 0.2) と可変力 F の作用を受けます。 x 軸上のどの Fx が表に示されています。荷重は重要な点と考えられます。距離 AB を l、荷重が点 A から点 B に移動する時間を t1 で表します。セクション BC ではパイプ上の荷重の摩擦を無視します。

航空機セクションの貨物移動の法則を見つける必要があります。時間 t に依存する点 D の x 座標の式、つまりx = f(t)、ここで x = BD。

この問題の解決策は、セクション AB での荷重の移動とセクション BC での移動の 2 つの部分に分けることができます。

1. セクション AB での貨物の移動。

荷重には、重力 D、一定の力 Q、媒体の抵抗力 R が作用します。荷重に関するニュートンの第 2 法則は次の形式になります。

D - Q - R = Dv、

ここで、v は負荷の速度です。

媒体の抵抗力 R が速度 v に比例すると考えると、つまりR = kv、k は定数であるため、次のようになります。

D - Q - kv = Dv。

したがって、セクション AB の貨物の移動の方程式は次の形式になります。

Dv + kv = D - Q。

次の表記法を導入しましょう。

a = k/D、b = Q/D。

この場合、運動方程式は次のように書くことができます。

v' + av = 1 - b、

ここで、v' = dv/dt。

この線形微分方程式の解は次のとおりです。

v = (1 - b)/a + Ce^(-at)、

ここで、C は積分定数であり、初期条件から求められます。点 A では、負荷の初速度は v0 であるため、C = (v0 - (1 - b)/a) となります。

したがって、セクション AB の負荷の速度は次のようになります。

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a。

速度を積分すると、セクション AB における荷重の移動の法則がわかります。

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2。

1. 航空機セクションでの貨物の移動。

負荷には重力 D、変動力 F、摩擦力が作用します。ニュートンの荷重に関する第 2 法則は次の形式になります。

D - F - fN = Dv'、

ここで、N は垂直抗力、f は摩擦係数です。

垂直抗力が航空機セクションにかかる荷重の重量に等しいと考えると、つまり、 N = D で、力 F の X 軸への投影 (Fx に等しい) は時間 t で表すことができ、次のようになります。

F = Fx(t)。

したがって、航空機セクション上の貨物の移動の方程式は次の形式になります。

Dv' = D - Fx(t) - fD。

この微分方程式を解くと、航空機セクションにかかる荷重の移動の法則がわかります。

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2。

したがって、航空機セクションの貨物移動の法則は次の形式になります。

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2。

したがって、セクション ABC の完全な貨物移動法則は次のように書くことができます。

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at^2 + l + vt - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2。

例: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at^2 - (1/2)Fx(t)/Dt^2 + (1/2)ft^2。

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解 D1-55 は、点 A で初速度 v0 を受け、垂直面にある湾曲したパイプ ABC に沿って移動する、質量 m の荷重の動きを記述しています。セクション AB では、重力に加えて、荷重には一定の力 Q と、荷重の速度に依存する媒体の抵抗力 R が作用します。点 B では、荷重はセクション BC に移動し、重力に加えて、摩擦力と変動力 F の作用を受けます。パイプにかかる荷重の摩擦係数は f = 0.2 です。

断面 BC における荷重の移動の法則を見つけるには、距離 AB=1、または荷重が点 A から点 B に移動する時間 t1 を知る必要があります。 断面 AB におけるパイプ上の荷重の摩擦無視されている。

タスクは、関数 x=f(t) を見つけることです。ここで、x=BD は点 B から点 D までの距離、t は航空機セクション上の貨物の移動時間です。この問題を解決するには、表と図 D1.0 ～ D1.9 のデータを使用する必要があります。

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