Solution D1-55 (Figure D1.5 condition 5 S.M. Targ 1989)

Solution au problème D1-55 (Figure D1.5, condition 5, S.M. Targ, 1989)

Il existe une charge de masse D qui se déplace dans un tuyau courbe ABC situé dans un plan vertical. Les sections de tuyaux peuvent être inclinées ou horizontales (voir les Figures D1.0 à D1.9 et le tableau D1). Au point A, la charge reçoit une vitesse initiale v0. Dans la section AB, en plus de la Force de gravité, la charge est soumise à l'action d'une Force constante Q (sa direction est indiquée sur les Figures) et d'une force de résistance du milieu R, qui dépend de la vitesse v de la charge et est dirigé contre le mouvement. Le frottement de la charge sur le tuyau dans la section AB n'est pas pris en compte. Au point B, la charge se déplace vers la section BC du tuyau sans changer de vitesse, où elle est sollicitée par une force de frottement (coefficient de frottement de la charge sur le tuyau f = 0,2) et une force variable F, la projection de quel Fx sur l’axe des x est donné dans le tableau. La charge est considérée comme un point matériel. On note la distance AB par l, le temps de déplacement de la charge du point A au point B par t1. Nous négligerons le frottement de la charge sur le tuyau dans la section BC.

Il est nécessaire de trouver la loi du mouvement des marchandises sur la section de l'avion, c'est-à-dire expression de la coordonnée x du point D en fonction du temps t, c'est-à-dire x = f(t), où x = BD.

La solution à ce problème peut être divisée en deux parties : le mouvement de la charge dans la section AB et le mouvement dans la section BC.

Mouvement de marchandises sur la section AB.

La charge est soumise à l’action de la force de gravité D, de la force constante Q et de la force de résistance du milieu R. La deuxième loi de Newton pour la charge a la forme :

D - Q - R = Dv,

où v est la vitesse de la charge.

Considérant que la force de résistance du milieu R est proportionnelle à la vitesse v, c'est-à-dire R = kv, où k est une constante, on obtient :

D - Q - kv = Dv.

Ainsi, l'équation pour le mouvement des marchandises dans la section AB a la forme :

Dv + kv = D - Q.

Introduisons la notation suivante :

une = k/D, b = Q/D.

Alors l’équation du mouvement peut s’écrire :

v' + av = 1 - b,

où v' = dv/dt.

La solution de cette équation différentielle linéaire est :

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

où C est la constante d'intégration, qui peut être trouvée à partir des conditions initiales. Au point A, la charge a une vitesse initiale v0, donc C = (v0 - (1 - b)/a).

Ainsi, la vitesse de la charge dans la section AB est égale à :

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

En intégrant la vitesse, on retrouve la loi de déplacement de la charge dans la section AB :

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2.

Mouvement du fret sur la section avion.

La charge est soumise à l'action de la gravité D, de la force variable F et de la force de frottement. La deuxième loi de Newton pour la charge a la forme :

D - F - fN = Dv',

où N est la force normale, f est le coefficient de frottement.

Considérant que la force normale est égale au poids de la charge sur la section de l'avion, c'est-à-dire N = D, et la projection de la force F sur l'axe des x, égale à Fx, peut être exprimée en termes de temps t, on obtient :

F = Fx(t).

Ainsi, l'équation pour le mouvement du fret sur la section de l'avion a la forme :

Dv' = D - Fx(t) - fD.

En résolvant cette équation différentielle, on retrouve la loi de mouvement de la charge sur la section de l'avion :

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Ainsi, la loi du mouvement des marchandises sur la section de l'avion a la forme :

x = l + v*t - (1/2)Fx(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Ainsi, la loi complète du mouvement des marchandises dans la section ABC peut s'écrire comme suit :

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at ^ 2 + l + vt - (1/2)Fx(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Réponse : x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at ^ 2 - (1/2)Fx(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

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La solution D1-55 décrit le mouvement d'une charge de masse m, qui reçoit une vitesse initiale v0 au point A et se déplace le long d'un tuyau courbe ABC situé dans un plan vertical. Dans la section AB, en plus de la force de gravité, la charge est soumise à une force constante Q et à une force de résistance du milieu R, qui dépend de la vitesse de la charge. Au point B, la charge se déplace vers la section BC, où, en plus de la force de gravité, elle est sollicitée par la force de frottement et la force variable F. Le coefficient de frottement de la charge sur le tuyau est f = 0,2.

Pour trouver la loi de déplacement de la charge dans la section BC, il faut connaître la distance AB=l ou le temps t1 de déplacement de la charge du point A au point B. Le frottement de la charge sur le tuyau dans la section AB est négligé.

La tâche consiste à trouver la fonction x=f(t), où x=BD est la distance du point B au point D, et t est le temps de déplacement de la cargaison sur la section de l'avion. Pour résoudre le problème, il est nécessaire d'utiliser les données du tableau et des figures D1.0-D1.9.

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