IDZ Ryabushko 4.1 Opção 5

Nº 1. Abaixo estão as equações canônicas para a elipse, hipérbole e parábola:

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do centro, aeb são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente, uma > b.
• Hipérbole: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do centro, aeb são a distância do centro aos vértices e a distância do centro para as assíntotas, respectivamente.
• Parábola: y = a(x - x₀)² + y₀, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do vértice, a é o parâmetro da parábola.

Nº 2. A equação de um círculo com centro no ponto A(x₀, y₀) e raio r tem a forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Para escrever a equação de uma circunferência que passa pelos pontos A e B com centro no ponto A, primeiro precisamos encontrar o raio. Para fazer isso, você pode encontrar a distância entre os pontos A e B e depois dividi-la ao meio, já que o centro do círculo está no meio do segmento AB. Assim, o raio r = AB / 2. Substitua este valor na equação do círculo e obtenha: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

N ° 3. A condição especificada no problema significa que o ponto M está localizado na bissetriz perpendicular do segmento AB. Para criar uma equação para esta bissetriz, precisamos de determinar as suas coordenadas. Isso pode ser feito usando a fórmula da distância entre um ponto e uma linha. A distância de um ponto M a uma linha AB pode ser encontrada usando a fórmula para a distância de um ponto a uma linha em forma de coordenadas. Teremos então duas equações correspondentes às distâncias do ponto M aos pontos A e B, e podemos escrever sua soma e igualá-la a 28. Isso nos dará a equação da bissetriz, que será a equação da reta nos estamos procurando por.

Nº 4. Para traçar uma curva em coordenadas polares, você precisa plotá-la usando os valores do ângulo e do raio. A equação ρ = 2 / (1 + cosφ) descreve uma curva que é simétrica em relação ao eixo x e passa pela origem. Para construir um gráfico, você pode traçar vários pontos usando diferentes valores do ângulo φ e do raio ρ e, em seguida, conectá-los com uma linha. Você também pode usar um programa de gráficos.

Número 5. A curva definida pelas equações paramétricas x = f(t) e y = g(t) é descrita por pontos (x, y), que dependem do parâmetro t. Para construir uma curva, é necessário traçar seu gráfico utilizando valores do parâmetro t na faixa de 0 a 2π. Para fazer isso, você pode traçar vários pontos usando diferentes valores de t e depois conectá-los com uma linha. Por exemplo, se tivermos as equações paramétricas x = cos(t) e y = sin(t), então podemos representar graficamente um círculo com raio 1 e centro na origem. Para fazer isso, você pode selecionar vários valores de t, por exemplo, t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π, etc., calcular os valores correspondentes de x e y e plotar pontos com essas coordenadas no plano de coordenadas. Esses pontos podem então ser conectados com uma linha para criar um gráfico circular.

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a) A equação canônica de uma elipse tem a forma: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do centro, aeb são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente, a > b.

Para uma determinada elipse, sabe-se que 2a = 22, o que significa a = 11. A excentricidade ε = √57/11 também é conhecida. O semieixo menor b pode ser encontrado pela fórmula b = a * √(1 - ε²), ou seja, b = 2√2.

As coordenadas dos focos podem ser encontradas usando a fórmula c = a * ε. Isso significa c = √57. As coordenadas focais serão (x₀ + c, y₀) e (x₀ - c, y₀), onde x₀ e y₀ são as coordenadas do centro da elipse.

b) A equação canônica de uma hipérbole tem a forma: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do centro, aeb são a distância do centro aos vértices e a distância do centro às assíntotas, respectivamente.

Para uma determinada hipérbole, sabe-se que 2c - distância focal = 10√13, ou seja, c = 5√13. Sabe-se também que a equação das assíntotas da hipérbole tem a forma y = ± kx, onde k = 2/3.

A distância do centro aos vértices a pode ser encontrada usando a fórmula a² = c² + b². Isso significa a = √(c² + b²) = √(194/3).

c) A equação canônica de uma parábola tem a forma: y = a(x - x₀)² + y₀, onde (x₀, y₀) são as coordenadas do vértice, a é o parâmetro da parábola.

Para uma dada parábola, o eixo de simetria Ox e a coordenada do vértice A(27;9) são conhecidos, o que significa que a equação será semelhante a: y = a(x - 27)² + 9.

A equação de um círculo com centro no ponto A(x₀, y₀) e raio r tem a forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Os focos da elipse 9x² + 25y² = 1 possuem coordenadas (0, ±2/5). O centro do círculo passa pelo meio do segmento entre A(0,6) e (0,-2/5), ou seja, o ponto (0, 59/50). O raio do círculo é igual à metade da distância entre A e (0,59/50), ou seja, r = √(6,25 + (59/50)² - 6) / 2.

Assim, a equação de um círculo será: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6,25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

A condição significa que o ponto M está localizado na bissetriz perpendicular do segmento AB. A distância do ponto M à linha AB pode ser encontrada usando a fórmula para a distância do ponto à linha no sistema de coordenadas:

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

onde (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente.

Conhecendo as coordenadas dos pontos A(4, 2) e B(-2, 6), você pode encontrar a equação da reta AB: y = -x/2 + 5.

Como o ponto M está na bissetriz perpendicular do segmento AB, o ângulo AMB é igual a 90 graus, o que significa que o ponto M está localizado na bissetriz perpendicular do segmento AB. Isso significa que as coordenadas do ponto M serão iguais a:

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Assim, as coordenadas do ponto M são (1, 4).

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IDZ Ryabushko 4.1 Opção 5 é um conjunto de problemas em matemática, que inclui tarefas de composição de equações canônicas e equações de retas, construção de curvas em sistemas de coordenadas polares e paramétricas, bem como tarefas de localização da equação de um círculo.

Nº 1. Este problema exige que você construa equações canônicas para uma elipse, uma hipérbole e uma parábola, definidas de várias maneiras. Para fazer isso, você precisa usar fórmulas conhecidas e dados fornecidos na definição do problema.

Nº 2. Neste problema, você precisa escrever a equação de um círculo com um centro especificado e passando por pontos especificados. Para fazer isso, você pode usar a fórmula padrão da equação de um círculo, que conecta as coordenadas do centro e do raio do círculo com as coordenadas de um ponto arbitrário no círculo.

N ° 3. Neste problema, você precisa criar uma equação para uma reta que satisfaça determinadas condições. Para fazer isso, você pode usar fórmulas conhecidas para a distância de um ponto a uma reta e aplicar os métodos de álgebra e geometria para encontrar a equação da reta.

Nº 4. Neste problema, você precisa construir uma curva definida em um sistema de coordenadas polares. Para fazer isso, você pode usar fórmulas conhecidas para converter coordenadas de um sistema de coordenadas polares para um sistema de coordenadas cartesianas e construir um gráfico de uma função especificada em coordenadas cartesianas.

Número 5. Neste problema você precisa construir uma curva dada por equações paramétricas. Para fazer isso, você pode usar os métodos da geometria analítica e construir um gráfico de uma função especificada na forma paramétrica.

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