IDZ Ryabushko 4.1 옵션 5

1위. 다음은 타원, 쌍곡선 및 포물선에 대한 표준 방정식입니다.

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, 여기서 (x₀, y₀)는 중심 좌표이고, a와 b는 각각 장반경 축과 단축 축입니다. 에 > 비.
• 쌍곡선: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, 여기서 (x₀, y₀)는 중심의 좌표이고, a와 b는 중심에서 정점까지의 거리와 거리입니다. 각각 중심에서 점근선까지.
• 포물선: y = a(x - x₀)² + y₀, 여기서 (x₀, y₀)는 꼭지점의 좌표이고, a는 포물선의 매개변수입니다.

2번. 점 A(x₀, y₀)에 중심이 있고 반경 r이 있는 원의 방정식은 다음 형식을 갖습니다: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². 점 A를 중심으로 점 A와 B를 지나는 원의 방정식을 작성하려면 먼저 반지름을 구해야 합니다. 이렇게 하려면 원의 중심이 AB 선분의 중앙에 있으므로 점 A와 B 사이의 거리를 구한 다음 반으로 나눌 수 있습니다. 따라서 반경 r = AB / 2. 이 값을 원 방정식에 대입하면 다음과 같이 됩니다: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

3번. 문제에 명시된 조건은 점 M이 선분 AB의 수직이등분선에 위치한다는 것을 의미합니다. 이 이등분선에 대한 방정식을 만들려면 좌표를 찾아야 합니다. 이는 점과 선 사이의 거리에 대한 공식을 사용하여 수행할 수 있습니다. 점 M에서 선 AB까지의 거리는 점에서 선까지의 거리를 좌표 형식으로 구하는 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. 그런 다음 점 M에서 점 A와 B까지의 거리에 해당하는 두 개의 방정식을 갖게 되며 그 합을 28로 설정할 수 있습니다. 이를 통해 이등분선의 방정식이 제공되며 이는 선의 방정식이 됩니다. 우리는 ~을 찾고있다.

4번. 극좌표로 곡선을 그리려면 각도와 반지름 값을 사용하여 곡선을 그려야 합니다. 방정식 ρ = 2 / (1 + cosΦ)는 x축에 대해 대칭이고 원점을 통과하는 곡선을 설명합니다. 그래프를 구성하려면 각도 ψ와 반지름 ρ의 서로 다른 값을 사용하여 여러 점을 그린 다음 선으로 연결할 수 있습니다. 차트 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

5호. 매개변수 방정식 x = f(t) 및 y = g(t)로 정의된 곡선은 매개변수 t에 따라 달라지는 점 (x, y)로 설명됩니다. 곡선을 구성하려면 0에서 2π 범위의 t 매개변수 값을 사용하여 그래프를 그려야 합니다. 이렇게 하려면 서로 다른 t 값을 사용하여 여러 점을 플롯한 다음 선으로 연결할 수 있습니다. 예를 들어 매개변수 방정식 x = cos(t) 및 y = sin(t)가 있는 경우 반경이 1이고 중심이 원점인 원의 그래프를 그릴 수 있습니다. 이를 위해 t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π 등과 같은 여러 t 값을 선택하고 해당 x 및 y 값을 계산하고 플롯할 수 있습니다. 좌표평면에 이 좌표가 있는 점. 그런 다음 이 점들을 선으로 연결하여 원 그래프를 만들 수 있습니다.

IDZ Ryabushko 4.1 옵션 5

a) 타원의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, 여기서 (x₀, y₀)는 중심 좌표이고, a와 b는 각각 장반경 축과 단축 축이며, a > b입니다.

주어진 타원에 대해 2a = 22로 알려져 있으며 이는 a = 11을 의미합니다. 이심률 ε = √57/11도 알려져 있습니다. 반단축 b는 공식 b = a * √(1 - ε²), 즉 b = 2√2를 사용하여 찾을 수 있습니다.

초점의 좌표는 공식 c = a * ε을 사용하여 찾을 수 있습니다. 이는 c = √57을 의미합니다. 초점 좌표는 (x₀ + c, y₀) 및 (x₀ - c, y₀)입니다. 여기서 x₀ 및 y₀는 타원 중심의 좌표입니다.

b) 쌍곡선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, 여기서 (x₀, y₀)는 중심의 좌표이고, a와 b는 각각 중심에서 꼭지점까지의 거리와 중심에서 점근선까지의 거리입니다.

주어진 쌍곡선에 대해 2c - 초점 거리 = 10√13, 즉 c = 5√13으로 알려져 있습니다. 쌍곡선 점근선의 방정식은 y = ± kx 형식을 갖는 것으로 알려져 있으며, 여기서 k = 2/3입니다.

중심에서 정점 a까지의 거리는 a² = c² + b² 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. 이는 a = √(c² + b²) = √(194/3)을 의미합니다.

c) 포물선의 표준 방정식 형식은 y = a(x - x₀)² + y₀입니다. 여기서 (x₀, y₀)는 꼭지점의 좌표이고 a는 포물선의 매개변수입니다.

주어진 포물선에 대해 대칭축 Ox와 정점 A(27;9)의 좌표가 알려져 있습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다: y = a(x - 27)² + 9.

점 A(x₀, y₀)에 중심이 있고 반지름 r이 있는 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

타원 9x² + 25y² = 1의 초점은 좌표 (0, ±2/5)를 갖습니다. 원의 중심은 A(0,6)과 (0,-2/5) 사이의 선분의 중앙, 즉 점 (0, 59/50)을 통과합니다. 원의 반지름은 A와 (0.59/50) 사이 거리의 절반과 같습니다. 즉, r = √(6.25 + (59/50)² - 6) / 2입니다.

따라서 원의 방정식은 다음과 같습니다: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6.25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

조건은 점 M이 선분 AB의 수직 이등분선에 위치함을 의미합니다. 점 M에서 선 AB까지의 거리는 좌표계의 점에서 선까지의 거리에 대한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

d = |(y2 - y₁)x + (x₁ - x2)y + x2y₁ - x₁y2| / √((y² - y₁)² + (x₁ - x²)²),

여기서 (x₁, y₁)와 (x2, y2)는 각각 점 A와 B의 좌표입니다.

점 A(4, 2)와 B(-2, 6)의 좌표를 알면 직선 AB의 방정식을 찾을 수 있습니다: y = -x/2 + 5.

점 M이 선분 AB의 수직이등분선에 있으므로 각도 AMB는 90도와 같습니다. 이는 점 M이 선분 AB의 수직이등분선에 위치함을 의미합니다. 이는 점 M의 좌표가 다음과 같음을 의미합니다.

x = (x₁ + x2) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y2) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

따라서 점 M의 좌표는 (1, 4)입니다.

***

IDZ Ryabushko 4.1 옵션 5는 정식 방정식과 선 방정식 작성, 극좌표 및 파라메트릭 좌표계에서 곡선 구성, 원 방정식 찾기 작업을 포함하는 수학 문제 세트입니다.

1위. 이 문제에서는 다양한 방식으로 정의된 타원, 쌍곡선 및 포물선에 대한 표준 방정식을 구성해야 합니다. 이렇게 하려면 문제 설명에 제공된 알려진 공식과 데이터를 사용해야 합니다.

2번. 이 문제에서는 중심이 지정되고 지정된 점을 통과하는 원의 방정식을 작성해야 합니다. 이를 위해 원의 중심 좌표와 원의 반경을 원의 임의 점 좌표와 연결하는 원 방정식의 표준 공식을 사용할 수 있습니다.

3번. 이 문제에서는 주어진 조건을 만족하는 직선에 대한 방정식을 만들어야 합니다. 이를 위해 점에서 선까지의 거리에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 대수학 및 기하학 방법을 적용하여 선의 방정식을 찾을 수 있습니다.

4번. 이 문제에서는 극좌표계로 정의된 곡선을 구성해야 합니다. 이를 위해 극좌표에서 데카르트 좌표계로 좌표를 변환하는 잘 알려진 공식을 사용하고 데카르트 좌표에 지정된 함수의 그래프를 구성할 수 있습니다.

5호. 이 문제에서는 매개변수 방정식으로 주어진 곡선을 구성해야 합니다. 이를 위해 분석 기하학 방법을 사용하고 매개변수 형식으로 지정된 함수의 그래프를 구성할 수 있습니다.

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