IDZ Ryabushko 4.1 Επιλογή 5

Νο. 1. Παρακάτω είναι οι κανονικές εξισώσεις για την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή:

• ?lipse: (x - x0)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου, a και b είναι οι ημι-κύριος και δευτερεύων άξονες, αντίστοιχα, α > β.
• Υπέρβολα: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου, a και b είναι η απόσταση από το κέντρο έως τις κορυφές και η απόσταση από το κέντρο προς τις ασύμπτωτες, αντίστοιχα.
• Παραβολή: y = a(x - x0)² + y0, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες της κορυφής, a είναι η παράμετρος της παραβολής.

Νο 2. Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο A(x0, y0) και ακτίνα r έχει τη μορφή: (x - x0)² + (y - y0)² = r². Για να γράψουμε την εξίσωση ενός κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α και Β με κέντρο στο σημείο Α, πρέπει πρώτα να βρούμε την ακτίνα. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β και στη συνέχεια να τη διαιρέσετε στο μισό, καθώς το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στη μέση του τμήματος ΑΒ. Έτσι, η ακτίνα r = AB / 2. Αντικαταστήστε αυτή την τιμή στην εξίσωση του κύκλου και λάβετε: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

Νο 3. Η συνθήκη που καθορίζεται στο πρόβλημα σημαίνει ότι το σημείο Μ βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο του τμήματος ΑΒ. Για να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για αυτή τη διχοτόμο, πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες της. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ ενός σημείου και μιας ευθείας. Η απόσταση από ένα σημείο Μ σε μια ευθεία ΑΒ μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία σε μορφή συντεταγμένων. Τότε θα έχουμε δύο εξισώσεις που αντιστοιχούν στις αποστάσεις από το σημείο Μ στα σημεία Α και Β, και μπορούμε να γράψουμε το άθροισμά τους και να το ορίσουμε ίσο με 28. Αυτό θα μας δώσει την εξίσωση της διχοτόμου, που θα είναι η εξίσωση της ευθείας ψάχνουμε για.

Νο 4. Για να σχεδιάσετε μια καμπύλη σε πολικές συντεταγμένες, πρέπει να την σχεδιάσετε χρησιμοποιώντας τις τιμές γωνίας και ακτίνας. Η εξίσωση ρ = 2 / (1 + cosφ) περιγράφει μια καμπύλη που είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x και διέρχεται από την αρχή. Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα, μπορείτε να σχεδιάσετε πολλά σημεία χρησιμοποιώντας διαφορετικές τιμές της γωνίας φ και της ακτίνας ρ και στη συνέχεια να τα συνδέσετε με μια γραμμή. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ένα πρόγραμμα χαρτογράφησης.

Νο 5. Η καμπύλη που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = f(t) και y = g(t) περιγράφεται από σημεία (x, y), τα οποία εξαρτώνται από την παράμετρο t. Για την κατασκευή μιας καμπύλης, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε το γράφημα της χρησιμοποιώντας τιμές της παραμέτρου t στην περιοχή από 0 έως 2π. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να σχεδιάσετε πολλά σημεία χρησιμοποιώντας διαφορετικές τιμές t και στη συνέχεια να τα συνδέσετε με μια γραμμή. Για παράδειγμα, αν έχουμε τις παραμετρικές εξισώσεις x = cos(t) και y = sin(t), τότε μπορούμε να γράψουμε έναν κύκλο με ακτίνα 1 και κέντρο στην αρχή. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να επιλέξετε πολλές τιμές του t, για παράδειγμα, t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π, κ.λπ., να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές των x και y και να σχεδιάσετε σημεία με αυτές τις συντεταγμένες στο επίπεδο συντεταγμένων. Αυτά τα σημεία μπορούν στη συνέχεια να συνδεθούν με μια γραμμή για να δημιουργήσουν ένα γράφημα κύκλου.

IDZ Ryabushko 4.1 Επιλογή 5

α) Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου, a και b είναι οι ημικύριοι και δευτερεύοντες άξονες, αντίστοιχα, a > b.

Για μια δεδομένη έλλειψη, είναι γνωστό ότι 2a = 22, που σημαίνει a = 11. Είναι επίσης γνωστή η εκκεντρότητα ε = √57/11. Ο ημιτελής άξονας b μπορεί να βρεθεί με τον τύπο b = a * √(1 - ε²), δηλαδή b = 2√2.

Οι συντεταγμένες των εστιών μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο c = a * ε. Αυτό σημαίνει c = √57. Οι εστιακές συντεταγμένες θα είναι (x0 + c, y0) και (x0 - c, y0), όπου x0 και y0 είναι οι συντεταγμένες του κέντρου της έλλειψης.

β) Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής έχει τη μορφή: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου, a και b είναι η απόσταση από το κέντρο προς τις κορυφές και η απόσταση από το κέντρο προς τις ασύμπτωτες, αντίστοιχα.

Για μια δεδομένη υπερβολή, είναι γνωστό ότι 2c - εστιακή απόσταση = 10√13, δηλαδή c = 5√13. Είναι επίσης γνωστό ότι η εξίσωση των ασυμπτωμάτων υπερβολής έχει τη μορφή y = ± kx, όπου k = 2/3.

Η απόσταση από το κέντρο έως τις κορυφές a μπορεί να βρεθεί με τον τύπο a² = c² + b². Αυτό σημαίνει a = √(c² + b²) = √(194/3).

γ) Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής έχει τη μορφή: y = a(x - x0)² + y0, όπου (x0, y0) είναι οι συντεταγμένες της κορυφής, a είναι η παράμετρος της παραβολής.

Για μια δεδομένη παραβολή, ο άξονας συμμετρίας Ox και η συντεταγμένη της κορυφής A(27;9) είναι γνωστοί, που σημαίνει ότι η εξίσωση θα μοιάζει με: y = a(x - 27)² + 9.

Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο A(x0, y0) και ακτίνα r έχει τη μορφή: (x - x0)² + (y - y₀)² = r².

Οι εστίες της έλλειψης 9x² + 25y² = 1 έχουν συντεταγμένες (0, ±2/5). Το κέντρο του κύκλου διέρχεται από το μέσο του τμήματος μεταξύ Α(0,6) και (0,-2/5), δηλαδή το σημείο (0, 59/50). Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με το μισό της απόστασης μεταξύ Α και (0,59/50), δηλαδή r = √(6,25 + (59/50)² - 6) / 2.

Έτσι, η εξίσωση ενός κύκλου θα είναι: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6,25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

Η συνθήκη σημαίνει ότι το σημείο Μ βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο του τμήματος ΑΒ. Η απόσταση από το σημείο Μ έως την ευθεία ΑΒ μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία στο σύστημα συντεταγμένων:

d = |(y2 - y1)x + (x1 - x2)y + x2y1 - x1y2| / √((y2 - y1)² + (x1 - x2)²),

όπου (x1, y1) και (x2, y2) είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β, αντίστοιχα.

Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων A(4, 2) και B(-2, 6), μπορείτε να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ: y = -x/2 + 5.

Εφόσον το σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ, η γωνία ΑΜΒ είναι ίση με 90 μοίρες, πράγμα που σημαίνει ότι το σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου Μ θα είναι ίσες με:

x = (x1 + x2) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y1 + y2) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι (1, 4).

***

IDZ Ryabushko 4.1 Η επιλογή 5 είναι ένα σύνολο προβλημάτων στα μαθηματικά, το οποίο περιλαμβάνει εργασίες για τη σύνθεση κανονικών εξισώσεων και εξισώσεων γραμμών, κατασκευή καμπυλών σε πολικά και παραμετρικά συστήματα συντεταγμένων, καθώς και μια εργασία για την εύρεση της εξίσωσης ενός κύκλου.

Νο. 1. Αυτό το πρόβλημα απαιτεί να κατασκευάσετε κανονικές εξισώσεις για μια έλλειψη, μια υπερβολή και μια παραβολή, που ορίζονται με διάφορους τρόπους. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε γνωστούς τύπους και δεδομένα που παρέχονται στη δήλωση προβλήματος.

Νο 2. Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να γράψετε την εξίσωση ενός κύκλου με καθορισμένο κέντρο και που διέρχεται από καθορισμένα σημεία. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τυπικό τύπο για την εξίσωση ενός κύκλου, ο οποίος συνδέει τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του κύκλου με τις συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου στον κύκλο.

Νο 3. Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να δημιουργήσετε μια εξίσωση για μια γραμμή που να ικανοποιεί δεδομένες συνθήκες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γνωστούς τύπους για την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία και να εφαρμόσετε τις μεθόδους της άλγεβρας και της γεωμετρίας για να βρείτε την εξίσωση της ευθείας.

Νο 4. Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να κατασκευάσετε μια καμπύλη που ορίζεται σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γνωστούς τύπους για τη μετατροπή συντεταγμένων από ένα πολικό σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης που καθορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες.

Νο 5. Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να κατασκευάσετε μια καμπύλη που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις μεθόδους της αναλυτικής γεωμετρίας και να κατασκευάσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης που καθορίζεται σε παραμετρική μορφή.

***

1. Μια πολύ βολική ψηφιακή μορφή εργασιών, δεν χρειάζεται να χάνετε χρόνο ξαναγράφοντας κείμενα.
2. Οι εργασίες στο Ryabushko IDZ 4.1 Option 5 είναι καλά δομημένες και ευανάγνωστες.
3. Η επίλυση εργασιών σας βοηθά να προετοιμαστείτε καλά για εξετάσεις και τεστ.
4. Το IDZ Ryabushko 4.1 Η Επιλογή 5 περιέχει πολλές ενδιαφέρουσες και χρήσιμες εργασίες που θα βοηθήσουν στη βελτίωση των γνώσεων των μαθητών.
5. Μια μεγάλη ποικιλία εργασιών σας επιτρέπει να επιλέξετε το πιο βολικό επίπεδο δυσκολίας για τον μαθητή.
6. Το IDZ Ryabushko 4.1 Option 5 παρέχει την ευκαιρία για γρήγορη και αποτελεσματική δοκιμή της γνώσης.
7. Μια εξαιρετική επιλογή για αυτοπροετοιμασία για σπουδές και εξετάσεις.
8. Μια καλή εναλλακτική στα παραδοσιακά σχολικά βιβλία και τα προβληματικά βιβλία.
9. Το IDZ Ryabushko 4.1 Option 5 σάς βοηθά να μάθετε το υλικό πιο αποτελεσματικά και γρήγορα.
10. Η προσβασιμότητα και η ευκολία χρήσης της ψηφιακής μορφής εργασιών καθιστούν το Ryabushko IDZ 4.1 Option 5 μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές.

Ιδιαιτερότητες:

Πολύ βολικό - μπορείτε να λύσετε εργασίες στο σπίτι χωρίς να χάνετε χρόνο στο δρόμο προς τον δάσκαλο.

Οι εργασίες στο Ryabushko 4.1 IDZ Option 5 είναι καλά δομημένες και κατανοητές.

Μια μεγάλη ποικιλία εργασιών επιτρέπει στον μαθητή να κατανοήσει καλύτερα το θέμα και να εμπεδώσει τη γνώση.

Το IDZ Ryabushko 4.1 Η επιλογή 5 βοηθά τον μαθητή να ελέγξει ανεξάρτητα τις γνώσεις του και να βρει λάθη.

Το πρόγραμμα είναι βολικό για χρήση σε tablet και smartphone, γεγονός που κάνει τη μάθηση πιο φορητή.

Το IDZ Ryabushko 4.1 Η Επιλογή 5 περιέχει πολλές ενδιαφέρουσες εργασίες που βοηθούν στην προσέλκυση της προσοχής του μαθητή.

Το σύστημα υποδείξεων και επεξηγήσεων βοηθά στην κατανόηση εκείνων των στιγμών που προκαλούν δυσκολίες.

IDZ Ryabushko 4.1 Η επιλογή 5 επιτρέπει στον μαθητή να εργάζεται με τον δικό του ρυθμό, χωρίς άγχος και πίεση από τον δάσκαλο.

Μια ευχάριστη και φιλική προς το χρήστη διεπαφή του προγράμματος καθιστά δυνατή την εστίαση στην επίλυση εργασιών και όχι στην εύρεση των απαραίτητων λειτουργιών.

Το IDZ Ryabushko 4.1 Option 5 είναι μια εξαιρετική προσθήκη στα μαθήματα και επιτρέπει στον μαθητή να κατακτήσει πληρέστερα την ύλη.