IDZ Ryabushko 4.1 Opción 5

N° 1. A continuación se muestran las ecuaciones canónicas para la elipse, hipérbola y parábola:

• ?lipse: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del centro, a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente, a > b.
• Hipérbola: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del centro, a y b son la distancia del centro a los vértices y la distancia desde el centro a las asíntotas, respectivamente.
• Parábola: y = a(x - x₀)² + y₀, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del vértice, a es el parámetro de la parábola.

No. 2. La ecuación de un círculo con centro en el punto A(x₀, y₀) y radio r tiene la forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Para escribir la ecuación de un círculo que pasa por los puntos A y B con centro en el punto A, primero necesitamos encontrar el radio. Para hacer esto, puedes encontrar la distancia entre los puntos A y B, y luego dividirla por la mitad, ya que el centro del círculo está en el medio del segmento AB. Así, el radio r = AB / 2. Sustituye este valor en la ecuación del círculo y obtienes: (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

Numero 3. La condición especificada en el problema significa que el punto M está ubicado en la mediatriz del segmento AB. Para crear una ecuación para esta bisectriz, necesitamos encontrar sus coordenadas. Esto se puede hacer usando la fórmula para la distancia entre un punto y una línea. La distancia de un punto M a una recta AB se puede encontrar usando la fórmula para la distancia de un punto a una recta en forma de coordenadas. Entonces tendremos dos ecuaciones correspondientes a las distancias del punto M a los puntos A y B, y podemos escribir su suma e igualarla a 28. Esto nos dará la ecuación de la bisectriz, que será la ecuación de la recta. estamos buscando.

No. 4. Para trazar una curva en coordenadas polares, debe trazarla utilizando los valores de ángulo y radio. La ecuación ρ = 2 / (1 + cosφ) describe una curva que es simétrica con respecto al eje x y pasa por el origen. Para construir una gráfica, puedes trazar varios puntos usando diferentes valores del ángulo φ y el radio ρ, y luego conectarlos con una línea. También puede utilizar un programa de gráficos.

Numero 5. La curva definida por las ecuaciones paramétricas x = f(t) e y = g(t) está descrita por los puntos (x, y), que dependen del parámetro t. Para construir una curva, es necesario trazar su gráfica utilizando valores del parámetro t en el rango de 0 a 2π. Para hacer esto, puedes trazar varios puntos usando diferentes valores de t y luego conectarlos con una línea. Por ejemplo, si tenemos las ecuaciones paramétricas x = cos(t) e y = sin(t), entonces podemos graficar un círculo con radio 1 y centro en el origen. Para hacer esto, puede seleccionar varios valores de t, por ejemplo, t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π, etc., calcular los valores correspondientes de x e y y trazar puntos con estas coordenadas en el plano coordenado. Luego, estos puntos se pueden conectar con una línea para crear un gráfico circular.

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a) La ecuación canónica de una elipse tiene la forma: (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del centro, a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente, a > b.

Para una elipse dada, se sabe que 2a = 22, lo que significa a = 11. También se conoce la excentricidad ε = √57/11. El semieje menor b se puede encontrar mediante la fórmula b = a * √(1 - ε²), es decir, b = 2√2.

Las coordenadas de los focos se pueden encontrar usando la fórmula c = a * ε. Esto significa c = √57. Las coordenadas focales serán (x₀ + c, y₀) y (x₀ - c, y₀), donde x₀ e y₀ son las coordenadas del centro de la elipse.

b) La ecuación canónica de una hipérbola tiene la forma: (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del centro, a y b son la distancia del centro a los vértices y la distancia del centro a las asíntotas, respectivamente.

Para una hipérbola dada, se sabe que 2c - distancia focal = 10√13, es decir, c = 5√13. También se sabe que la ecuación de asíntotas de hipérbola tiene la forma y = ± kx, donde k = 2/3.

La distancia del centro a los vértices a se puede encontrar usando la fórmula a² = c² + b². Esto significa a = √(c² + b²) = √(194/3).

c) La ecuación canónica de una parábola tiene la forma: y = a(x - x₀)² + y₀, donde (x₀, y₀) son las coordenadas del vértice, a es el parámetro de la parábola.

Para una parábola dada, se conocen el eje de simetría Ox y la coordenada del vértice A(27;9), lo que significa que la ecuación quedará así: y = a(x - 27)² + 9.

La ecuación de un círculo con centro en el punto A(x₀, y₀) y radio r tiene la forma: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Los focos de la elipse 9x² + 25y² = 1 tienen coordenadas (0, ±2/5). El centro del círculo pasa por la mitad del segmento entre A(0,6) y (0,-2/5), es decir, el punto (0, 59/50). El radio del círculo es igual a la mitad de la distancia entre A y (0,59/50), es decir, r = √(6,25 + (59/50)² - 6)/2.

Así, la ecuación de una circunferencia será: (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6.25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

La condición significa que el punto M está ubicado en la mediatriz del segmento AB. La distancia del punto M a la recta AB se puede encontrar usando la fórmula para la distancia de un punto a una recta en el sistema de coordenadas:

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de los puntos A y B, respectivamente.

Conociendo las coordenadas de los puntos A(4, 2) y B(-2, 6), puedes encontrar la ecuación de la recta AB: y = -x/2 + 5.

Dado que el punto M se encuentra en la mediatriz del segmento AB, el ángulo AMB es igual a 90 grados, lo que significa que el punto M se encuentra en la mediatriz del segmento AB. Esto significa que las coordenadas del punto M serán iguales a:

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Por tanto, las coordenadas del punto M son (1, 4).

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IDZ Ryabushko 4.1 Opción 5 es un conjunto de problemas de matemáticas, que incluye tareas para componer ecuaciones canónicas y ecuaciones de rectas, construir curvas en sistemas de coordenadas polares y paramétricas, así como una tarea para encontrar la ecuación de un círculo.

N° 1. Este problema requiere que construyas ecuaciones canónicas para una elipse, una hipérbola y una parábola, definidas de varias maneras. Para hacer esto, necesita utilizar fórmulas conocidas y datos proporcionados en el planteamiento del problema.

No. 2. En este problema, debes escribir la ecuación de un círculo con un centro específico y que pasa por puntos específicos. Para hacer esto, puede usar la fórmula estándar para la ecuación de un círculo, que conecta las coordenadas del centro y el radio del círculo con las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo.

Numero 3. En este problema, necesitas crear una ecuación para una línea que satisfaga condiciones dadas. Para ello, puedes utilizar fórmulas conocidas para la distancia de un punto a una recta y aplicar los métodos de álgebra y geometría para encontrar la ecuación de la recta.

No. 4. En este problema, necesitas construir una curva definida en un sistema de coordenadas polares. Para hacer esto, puede utilizar fórmulas conocidas para convertir coordenadas de un sistema de coordenadas polar a cartesiano y construir una gráfica de una función especificada en coordenadas cartesianas.

Numero 5. En este problema necesitas construir una curva dada por ecuaciones paramétricas. Para hacer esto, puede utilizar los métodos de geometría analítica y construir una gráfica de una función especificada en forma paramétrica.

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