IDZ Ryabushko 4.1 Option 5

N°1. Vous trouverez ci-dessous les équations canoniques de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole :

• ?lipse : (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du centre, a et b sont respectivement les axes semi-majeur et mineur, une > b.
• Hyperbole : (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du centre, a et b sont la distance du centre aux sommets et la distance du centre vers les asymptotes, respectivement.
• Parabole : y = a(x - x₀)² + y₀, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du sommet, a est le paramètre de la parabole.

N°2. L'équation d'un cercle de centre au point A(x₀, y₀) et de rayon r a la forme : (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Pour écrire l’équation d’un cercle passant par les points A et B et dont le centre est le point A, il faut d’abord trouver le rayon. Pour ce faire, vous pouvez trouver la distance entre les points A et B, puis la diviser en deux, puisque le centre du cercle est au milieu du segment AB. Ainsi, le rayon r = AB / 2. Remplacez cette valeur dans l'équation du cercle et obtenez : (x - x₀)² + (y - y₀)² = (AB / 2)².

N ° 3. La condition spécifiée dans le problème signifie que le point M est situé sur la médiatrice du segment AB. Afin de créer une équation pour cette bissectrice, nous devons trouver ses coordonnées. Cela peut être fait en utilisant la formule de la distance entre un point et une ligne. La distance d'un point M à une ligne AB peut être trouvée à l'aide de la formule de la distance d'un point à une ligne sous forme de coordonnées. Nous aurons alors deux équations correspondant aux distances du point M aux points A et B, et nous pourrons écrire leur somme et la fixer égale à 28. Cela nous donnera l'équation de la bissectrice, qui sera l'équation de la droite nous recherchons.

Numéro 4. Pour tracer une courbe en coordonnées polaires, vous devez la tracer en utilisant les valeurs d'angle et de rayon. L'équation ρ = 2 / (1 + cosφ) décrit une courbe symétrique par rapport à l'axe des x et passant par l'origine. Pour construire un graphique, vous pouvez tracer plusieurs points en utilisant différentes valeurs de l'angle φ et du rayon ρ, puis les relier par une ligne. Vous pouvez également utiliser un programme de cartographie.

N ° 5. La courbe définie par les équations paramétriques x = f(t) et y = g(t) est décrite par des points (x, y), qui dépendent du paramètre t. Pour construire une courbe, il est nécessaire de tracer son graphique en utilisant des valeurs du paramètre t comprises entre 0 et 2π. Pour ce faire, vous pouvez tracer plusieurs points en utilisant différentes valeurs t, puis les relier par une ligne. Par exemple, si nous avons les équations paramétriques x = cos(t) et y = sin(t), alors nous pouvons représenter graphiquement un cercle de rayon 1 et centré à l’origine. Pour ce faire, vous pouvez sélectionner plusieurs valeurs de t, par exemple t = 0, π/4, π/2, 3π/4, π, etc., calculer les valeurs correspondantes de x et y et tracer points avec ces coordonnées sur le plan de coordonnées. Ces points peuvent ensuite être reliés par une ligne pour créer un graphique circulaire.

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a) L'équation canonique d'une ellipse a la forme : (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b² = 1, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du centre, a et b sont respectivement les axes semi-majeur et mineur, a > b.

Pour une ellipse donnée, on sait que 2a = 22, ce qui signifie a = 11. L'excentricité ε = √57/11 est également connue. L'axe semi-mineur b peut être trouvé par la formule b = a * √(1 - ε²), c'est-à-dire b = 2√2.

Les coordonnées des foyers peuvent être trouvées à l'aide de la formule c = a * ε. Cela signifie c = √57. Les coordonnées focales seront (x₀ + c, y₀) et (x₀ - c, y₀), où x₀ et y₀ sont les coordonnées du centre de l'ellipse.

b) L'équation canonique d'une hyperbole a la forme : (x - x₀)² / a² - (y - y₀)² / b² = 1, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du centre, a et b sont respectivement la distance du centre aux sommets et la distance du centre aux asymptotes.

Pour une hyperbole donnée, on sait que 2c - distance focale = 10√13, soit c = 5√13. On sait également que l'équation des asymptotes de l'hyperbole a la forme y = ± kx, où k = 2/3.

La distance entre le centre et les sommets a peut être trouvée à l'aide de la formule a² = c² + b². Cela signifie a = √(c² + b²) = √(194/3).

c) L'équation canonique d'une parabole a la forme : y = a(x - x₀)² + y₀, où (x₀, y₀) sont les coordonnées du sommet, a est le paramètre de la parabole.

Pour une parabole donnée, l'axe de symétrie Ox et la coordonnée du sommet A(27;9) sont connus, ce qui signifie que l'équation ressemblera à : y = a(x - 27)² + 9.

L'équation d'un cercle de centre au point A(x₀, y₀) et de rayon r a la forme : (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Les foyers de l'ellipse 9x² + 25y² = 1 ont pour coordonnées (0, ±2/5). Le centre du cercle passe par le milieu du segment compris entre A(0,6) et (0,-2/5), c'est-à-dire le point (0, 59/50). Le rayon du cercle est égal à la moitié de la distance entre A et (0,59/50), soit r = √(6,25 + (59/50)² - 6) / 2.

Ainsi, l'équation d'un cercle sera : (x-0)² + (y-59/50)² = ((√(6,25 + (59/50)² - 6)) / 2)².

La condition signifie que le point M est situé sur la médiatrice du segment AB. La distance du point M à la ligne AB peut être trouvée à l'aide de la formule de la distance d'un point à une ligne dans le système de coordonnées :

d = |(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂| / √((y₂ - y₁)² + (x₁ - x₂)²),

où (x₁, y₁) et (x₂, y₂) sont respectivement les coordonnées des points A et B.

Connaissant les coordonnées des points A(4, 2) et B(-2, 6), vous pouvez trouver l'équation de la droite AB : y = -x/2 + 5.

Puisque le point M se trouve sur la médiatrice du segment AB, l'angle AMB est égal à 90 degrés, ce qui signifie que le point M est situé sur la médiatrice du segment AB. Cela signifie que les coordonnées du point M seront égales à :

x = (x₁ + x₂) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4

Ainsi, les coordonnées du point M sont (1, 4).

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 5 est un ensemble de problèmes de mathématiques, qui comprend des tâches de composition d'équations canoniques et d'équations de droites, de construction de courbes dans des systèmes de coordonnées polaires et paramétriques, ainsi qu'une tâche de recherche de l'équation d'un cercle.

N°1. Ce problème vous oblige à construire des équations canoniques pour une ellipse, une hyperbole et une parabole, définies de différentes manières. Pour ce faire, vous devez utiliser des formules connues et des données fournies dans l'énoncé du problème.

N°2. Dans ce problème, vous devez écrire l'équation d'un cercle avec un centre spécifié et passant par des points spécifiés. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule standard de l'équation d'un cercle, qui relie les coordonnées du centre et du rayon du cercle aux coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle.

N ° 3. Dans ce problème, vous devez créer une équation pour une droite qui satisfait des conditions données. Pour ce faire, vous pouvez utiliser des formules bien connues pour la distance d'un point à une ligne et appliquer les méthodes de l'algèbre et de la géométrie pour trouver l'équation de la ligne.

Numéro 4. Dans ce problème, vous devez construire une courbe définie dans un système de coordonnées polaires. Pour ce faire, vous pouvez utiliser des formules bien connues pour convertir les coordonnées d'un système de coordonnées polaires en un système de coordonnées cartésiennes et construire un graphique d'une fonction spécifiée en coordonnées cartésiennes.

N ° 5. Dans ce problème, vous devez construire une courbe donnée par des équations paramétriques. Pour ce faire, vous pouvez utiliser les méthodes de géométrie analytique et construire un graphique d'une fonction spécifiée sous forme paramétrique.

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