IDZ Ryabushko 3.2 Opção 18

Nº 1. Vértices dados ∆АВС: А(–4;2); B(6;–4); C(4;10). Encontrar:

a) Equação do lado AB: Para encontrar a equação do lado AB, é necessário encontrar os coeficientes da equação da reta que passa pelos pontos A e B. Para isso, usamos a fórmula: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * ( x - x1), onde (x1, y1) são as coordenadas do ponto A e (x2, y2) são as coordenadas do ponto B.

Temos: (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (6, -4) A equação para o lado AB é: y - 2 = (-4 - 2) / (6 - ( -4)) * (x - (-4)) y - 2 = -6/10 * (x + 4) y = -3/5 * x + 2

b) Equação da altura CH: Para encontrar a equação da altura CH, é necessário encontrar os coeficientes da equação de uma reta que passa pelo ponto C e é perpendicular ao lado AB. Para fazer isso, usamos a propriedade: se uma reta com a equação y = kx + b é perpendicular à reta com a equação y = k'x + b', então k * k' = -1.

Pela equação do lado AB, sabemos que sua inclinação é -3/5. Isto significa que o coeficiente de inclinação da altura do CH é 5/3. O ponto C está a uma altura, o que significa que conhecemos as coordenadas do ponto C. Então a equação para a altura de CH tem a forma: y - 10 = 5/3 * (x - 4) y = 5/3 * x - 3/10

c) Equação da mediana AM: Para encontrar a equação da mediana AM, é necessário encontrar as coordenadas do ponto M - meio do lado BC e os coeficientes da equação da reta que passa pelos pontos A e M. Para isso, usamos as fórmulas: x = (x1 + x2) / 2 , y = (y1 + y2) / 2 - coordenadas do ponto M, e a equação da reta que passa pelos pontos A e M : y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1), onde (x1, y1) são as coordenadas do ponto A e (x2, y2) são as coordenadas do ponto M.

Temos: (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (5, 3) O ponto M tem coordenadas: x = (-4 + 5) / 2 = 1/2, y = ( 2 + 3) / 2 = 5/2 A equação para a mediana AM é: y - 2 = (3 - 2) / (5 - (-4)) * (x - (-4)) y - 2 = 1 /9 * (x + 4) y = 1/9 * x + 22/9

d) Ponto N da intersecção da mediana AM e da altura CH: O ponto N é o ponto de intersecção da mediana AM e da altura CH. Vamos encontrar suas coordenadas resolvendo um sistema de equações composto pelas equações da mediana AM e da altura CH: { y = 5/3 * x - 10/3, y = 1/9 * x + 22/9 }

Tendo resolvido o sistema de equações, obtemos: x = 18/7, y = 20/7

O ponto N tem coordenadas (18/7, 20/7).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB: Uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB tem o mesmo coeficiente de inclinação do lado AB (-3/5). Vamos encontrar o coeficiente b da equação desta reta substituindo as coordenadas do ponto C e o valor do coeficiente de inclinação na equação: 10 = -3/5 * 4 + b b = 58/5

A equação de uma linha reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB é: y = -3/5 * x + 58/5

f) Distância do ponto C à reta AB: Para encontrar a distância do ponto C à reta AB, é necessário encontrar uma perpendicular ao lado AB passando pelo ponto C e encontrar o ponto de intersecção desta perpendicular com o lado AB. Então você pode encontrar a distância entre o ponto C e o ponto de interseção encontrado.

Vamos encontrar a equação de uma perpendicular ao lado AB que passa pelo ponto C. O coeficiente de inclinação desta perpendicular é igual ao valor inverso do coeficiente de inclinação do lado AB (5/3). O ponto C está nesta perpendicular, o que significa que conhecemos as coordenadas do ponto C. Então a equação da perpendicular se parece com: y - 10 = -3/5 * (x - 4) y = -3/5 * x + 22 /5

Vamos encontrar o ponto de intersecção da perpendicular e do lado AB resolvendo um sistema de equações composto pelas equações da perpendicular e do lado AB: { y = -3/5 * x + 22/5, y = -3/5 * x + 2}

Tendo resolvido o sistema de equações, obtemos: x = 2, y = 4

O ponto de intersecção da perpendicular e do lado AB tem coordenadas (2, 4). A distância do ponto C à linha AB é igual à distância do ponto C ao ponto de interseção encontrado, que pode ser encontrada usando a fórmula para a distância entre dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), onde (x1, y1) são as coordenadas do ponto C e (x2, y2) são as coordenadas do ponto de interseção encontrado.

Temos: (x1, y1) = (4, 10), (x2, y2) = (2, 4) d = sqrt((2 - 4)^2 + (4 - 10)^2) = sqrt(20 ) = 2*quadrado(5)

Resposta: a) y = -3/5*x+2; b) y = 5/3 * x - 10/3; c) y = 1/9*

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IDZ Ryabushko 3.2 Opção 18 é um conjunto de tarefas em matemática, que inclui a resolução de problemas para encontrar equações de retas, alturas, medianas, distâncias, etc.

Na tarefa nº 1, os vértices do triângulo ABC são dados e você precisa encontrar as equações do lado AB, altura CH, mediana AM, ponto de intersecção da mediana AM e altura CH, a equação da reta que passa pelo vértice C e paralelo ao lado AB, bem como a distância do ponto C à linha AB .

Na tarefa nº 2 você precisa criar uma equação de uma reta que passa pela origem das coordenadas e pelo ponto de intersecção de duas retas dadas.

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