IDZ Ryabushko 3.2 Option 18

N°1. Sommets donnés ∆АВС : А(–4;2); B(6;–4); C(4;10). Trouver:

a) Équation du côté AB : Afin de trouver l'équation du côté AB, il faut trouver les coefficients de l'équation de la droite passant par les points A et B. Pour ce faire, on utilise la formule : y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * ( x - x1), où (x1, y1) sont les coordonnées du point A et (x2, y2) sont les coordonnées du point B.

On a : (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (6, -4) L'équation du côté AB est : y - 2 = (-4 - 2) / (6 - ( -4 )) * (x - (-4)) y - 2 = -6/10 * (x + 4) y = -3/5 * x + 2

b) Équation de hauteur CH : Pour trouver l'équation de hauteur CH, il faut trouver les coefficients de l'équation d'une droite passant par le point C et perpendiculaire au côté AB. Pour ce faire, on utilise la propriété : si une droite d'équation y = kx + b est perpendiculaire à la droite d'équation y = k'x + b', alors k * k' = -1.

D'après l'équation du côté AB, on sait que sa pente est de -3/5. Cela signifie que le coefficient de pente de la hauteur CH est de 5/3. Le point C se trouve à une hauteur, ce qui signifie que nous connaissons les coordonnées du point C. Alors l'équation pour la hauteur de CH a la forme : y - 10 = 5/3 * (x - 4) y = 5/3 * x - 10/3

c) Équation de la médiane AM : Afin de trouver l'équation de la médiane AM, il faut trouver les coordonnées du point M - le milieu du côté BC et les coefficients de l'équation de la droite passant par les points A et M. Pour ce faire, on utilise les formules : x = (x1 + x2) / 2 , y = (y1 + y2) / 2 - coordonnées du point M, et l'équation de la droite passant par les points A et M : y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1), où ( x1, y1) sont les coordonnées du point A, et (x2, y2) sont les coordonnées du point M.

On a : (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (5, 3) Le point M a pour coordonnées : x = (-4 + 5) / 2 = 1/2, y = ( 2 + 3) / 2 = 5/2 L'équation de la médiane AM est : y - 2 = (3 - 2) / (5 - (-4)) * (x - (-4)) y - 2 = 1 /9 * (x + 4) y = 1/9 * x + 22/9

d) Point N de l'intersection de la médiane AM et de la hauteur CH : Le point N est le point d'intersection de la médiane AM et de la hauteur CH. Trouvons ses coordonnées en résolvant un système d'équations composé des équations de la médiane AM et de la hauteur CH : { y = 5/3 * x - 10/3, y = 1/9 * x + 22/9 }

Après avoir résolu le système d'équations, on obtient : x = 18/7, y = 20/7

Le point N a les coordonnées (18/7, 20/7).

e) Équation d'une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB : Une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB a le même coefficient de pente que le côté AB (-3/5). Trouvons le coefficient b de l'équation de cette droite en substituant les coordonnées du point C et la valeur du coefficient de pente dans l'équation : 10 = -3/5 * 4 + b b = 58/5

L'équation d'une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB est : y = -3/5 * x + 58/5

f) Distance du point C à la ligne AB : Pour trouver la distance du point C à la ligne AB, il faut trouver une perpendiculaire au côté AB passant par le point C et trouver le point d'intersection de cette perpendiculaire avec le côté AB. Ensuite, vous pouvez trouver la distance entre le point C et le point d'intersection trouvé.

Trouvons l'équation d'une perpendiculaire au côté AB passant par le point C. Le coefficient de pente de cette perpendiculaire est égal à la valeur inverse du coefficient de pente du côté AB (5/3). Le point C se trouve sur cette perpendiculaire, ce qui signifie que nous connaissons les coordonnées du point C. L'équation de la perpendiculaire ressemble alors à : y - 10 = -3/5 * (x - 4) y = -3/5 * x + 22 /5

Trouvons le point d'intersection de la perpendiculaire et du côté AB en résolvant un système d'équations composé des équations de la perpendiculaire et du côté AB : { y = -3/5 * x + 22/5, y = -3/5 * x + 2 }

Après avoir résolu le système d'équations, on obtient : x = 2, y = 4

Le point d'intersection de la perpendiculaire et du côté AB a les coordonnées (2, 4). La distance du point C à la ligne AB est égale à la distance du point C au point d'intersection trouvé, qui peut être trouvé à l'aide de la formule de la distance entre deux points : d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), où (x1, y1) sont les coordonnées du point C, et (x2, y2) sont les coordonnées du point d'intersection trouvé.

Nous avons : (x1, y1) = (4, 10), (x2, y2) = (2, 4) d = sqrt((2 - 4)^2 + (4 - 10)^2) = sqrt(20 ) = 2*carré(5)

Réponse : a) y = -3/5 * x + 2 ; b) y = 5/3 * x - 10/3 ; c) y = 1/9 *

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IDZ Ryabushko 3.2 Option 18 est un ensemble de tâches en mathématiques, qui comprend la résolution de problèmes pour trouver des équations de lignes, de hauteurs, de médianes, de distances, etc.

Dans la tâche n°1, les sommets du triangle ABC sont donnés et il faut trouver les équations du côté AB, de la hauteur CH, de la médiane AM, le point d'intersection de la médiane AM et de la hauteur CH, l'équation de la droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB, ainsi que la distance du point C à la ligne AB .

Dans la tâche n°2, vous devez créer une équation d'une droite passant par l'origine des coordonnées et le point d'intersection de deux droites données.

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