N° 1. Dados los vértices ∆АВС: А(–4;2); B(6;–4); C(4;10). Encontrar:
a) Ecuación del lado AB: Para encontrar la ecuación del lado AB, es necesario encontrar los coeficientes de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. Para ello utilizamos la fórmula: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * ( x - x1), donde (x1, y1) son las coordenadas del punto A y (x2, y2) son las coordenadas del punto B.
Tenemos: (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (6, -4) La ecuación para el lado AB es: y - 2 = (-4 - 2) / (6 - ( -4 )) * (x - (-4)) y - 2 = -6/10 * (x + 4) y = -3/5 * x + 2
b) Ecuación de altura CH: Para encontrar la ecuación de altura CH, es necesario encontrar los coeficientes de la ecuación de una línea recta que pasa por el punto C y es perpendicular al lado AB. Para hacer esto usamos la propiedad: si una línea recta con la ecuación y = kx + b es perpendicular a la línea recta con la ecuación y = k'x + b', entonces k * k' = -1.
De la ecuación del lado AB, sabemos que su pendiente es -3/5. Esto significa que el coeficiente de pendiente de la altura del CH es 5/3. El punto C se encuentra a una altura, lo que significa que conocemos las coordenadas del punto C. Entonces la ecuación para la altura de CH tiene la forma: y - 10 = 5/3 * (x - 4) y = 5/3 * x - 10/3
c) Ecuación de la mediana AM: Para encontrar la ecuación de la mediana AM, es necesario encontrar las coordenadas del punto M, el centro del lado BC y los coeficientes de la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A. y M. Para hacer esto, usamos las fórmulas: x = (x1 + x2) / 2 , y = (y1 + y2) / 2 - coordenadas del punto M, y la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A y M : y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1), donde (x1, y1) son las coordenadas del punto A y (x2, y2) son las coordenadas del punto M.
Tenemos: (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (5, 3) El punto M tiene coordenadas: x = (-4 + 5) / 2 = 1/2, y = ( 2 + 3) / 2 = 5/2 La ecuación para la mediana AM es: y - 2 = (3 - 2) / (5 - (-4)) * (x - (-4)) y - 2 = 1 /9 * (x + 4) y = 1/9 * x + 22/9
d) Punto N de la intersección de la mediana AM y la altura CH: El punto N es el punto de intersección de la mediana AM y la altura CH. Encontremos sus coordenadas resolviendo un sistema de ecuaciones compuesto por las ecuaciones de la mediana AM y la altura CH: { y = 5/3 * x - 10/3, y = 1/9 * x + 22/9 }
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: x = 18/7, y = 20/7
El punto N tiene coordenadas (18/7, 20/7).
e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y paralela al lado AB: Una recta que pasa por el vértice C y paralela al lado AB tiene el mismo coeficiente de pendiente que el lado AB (-3/5). Encontremos el coeficiente b de la ecuación de esta recta sustituyendo las coordenadas del punto C y el valor del coeficiente de pendiente en la ecuación: 10 = -3/5 * 4 + b b = 58/5
La ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB es: y = -3/5 * x + 58/5
f) Distancia del punto C a la línea AB: Para encontrar la distancia del punto C a la línea AB, es necesario encontrar una perpendicular al lado AB que pase por el punto C y encontrar el punto de intersección de esta perpendicular con el lado AB. Luego puedes encontrar la distancia entre el punto C y el punto de intersección encontrado.
Encontremos la ecuación de una perpendicular al lado AB que pasa por el punto C. El coeficiente de pendiente de esta perpendicular es igual al valor inverso del coeficiente de pendiente del lado AB (5/3). El punto C se encuentra en esta perpendicular, lo que significa que conocemos las coordenadas del punto C. Entonces la ecuación de la perpendicular queda así: y - 10 = -3/5 * (x - 4) y = -3/5 * x + 22 /5
Encontremos el punto de intersección de la perpendicular y el lado AB resolviendo un sistema de ecuaciones compuesto por las ecuaciones de la perpendicular y el lado AB: { y = -3/5 * x + 22/5, y = -3/5 * x+2}
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: x = 2, y = 4
El punto de intersección de la perpendicular y el lado AB tiene coordenadas (2, 4). La distancia del punto C a la línea AB es igual a la distancia del punto C al punto de intersección encontrado, que se puede encontrar usando la fórmula para la distancia entre dos puntos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), donde (x1, y1) son las coordenadas del punto C y (x2, y2) son las coordenadas del punto de intersección encontrado.
Tenemos: (x1, y1) = (4, 10), (x2, y2) = (2, 4) d = sqrt((2 - 4)^2 + (4 - 10)^2) = sqrt(20 ) = 2*sqrt(5)
Respuesta: a) y = -3/5 * x + 2; b) y = 5/3 * x - 10/3; c) y = 1/9 *
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IDZ Ryabushko 3.2 Opción 18 es un conjunto de tareas en matemáticas, que incluye la resolución de problemas para encontrar ecuaciones de rectas, alturas, medianas, distancias, etc.
En la tarea número 1, se dan los vértices del triángulo ABC y es necesario encontrar las ecuaciones del lado AB, la altura CH, la mediana AM, el punto de intersección de la mediana AM y la altura CH, la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y paralela al lado AB, así como la distancia del punto C a la recta AB.
En la tarea número 2, debes crear una ecuación de una línea que pasa por el origen de coordenadas y el punto de intersección de dos líneas dadas.
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