IDZ 10.2 – Opção 1. Soluções Ryabushko A.P.

1. Vamos encontrar as equações do plano tangente e da normal à superfície S no ponto M0(2, 1, –1).

Procuramos o gradiente da superfície S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). No ponto M0(2, 1, –1) temos: grad(S) = (0, 2, 4). Como o plano tangente à superfície S no ponto M0 é paralelo ao gradiente da superfície, a equação do plano tangente tem a forma: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, ou seja, y + 2z - 1 = 0. A equação da normal à superfície S no ponto M0 tem a forma: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, ou seja, x + y + 2z - 8 = 0.

1. Vamos encontrar as segundas derivadas parciais da função z=ex2-y2 e ter certeza de que z''xy = z''yx.

Calculamos as primeiras derivadas parciais: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). Em seguida, encontramos as segundas derivadas parciais: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2 -y ^ 2) -4y ^ 2e ^ (x ^ 2-y ^ 2). Observe que z''xy = z''yx, o que significa que a função z=ex2-y2 satisfaz a condição de igualdade de derivadas mistas.

1. Vamos verificar se a função u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz satisfaz a equação de Laplace.

Vamos calcular Laplace a partir da função u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Como Δu não é igual a zero, então a função u(x ,y,z) não satisfaz a equação de Laplace.

1. Vamos examinar a função z=y√x – 2y^2 – x + 14y para um extremo.

Calculamos as derivadas parciais: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Encontre os pontos estacionários: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Verifique o suficiente condições para o extremo: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Como z''xx

1. Vamos encontrar os maiores e menores valores da função z=3x+y-xy na área D, delimitada pelas linhas y=x, y=4, x=0.

Expressamos y em termos de x na equação y=4: y=4. Substitua y=x na função z=3x+y-xy: z=4x-2x^2. Calculamos as derivadas: z'x=4-4x, z''xx=-4. Encontre o ponto crítico: z'x=0 => x=1, então y=1. Verificamos as condições suficientes para o extremo: z''xx=-4

IDZ 10.2 – Opção 1. Soluções Ryabushko A.P. é um produto digital, que é uma coleção de soluções para tarefas matemáticas desenvolvidas por A.P. Ryabushko. Ele contém soluções detalhadas e fáceis de entender para ajudar os alunos a entender melhor o material e se preparar para os exames.

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IDZ 10.2 – Opção 1. Soluções Ryabushko A.P. é um conjunto de problemas de análise matemática, que abrange as seguintes tarefas:

1. É necessário encontrar as equações do plano tangente e normal a uma determinada superfície S no ponto M0(x0, y0, z0). A superfície S é dada pela equação x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, e o ponto M0 possui coordenadas (2, 1, – 1).

2. É necessário encontrar as segundas derivadas parciais das funções indicadas e verificar que z''xy = z''yx. A função z(x,y) é dada pela equação z = ex2-y2.

3. É necessário verificar se a função u satisfaz a equação especificada.

4. É necessário examinar a função z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y para seu extremo.

5. É necessário encontrar o maior e o menor valor da função z(x,y) = 3x + y – xy na região D, limitada pelas retas fornecidas y = x, y = 4, x = 0.

O conjunto de problemas foi desenhado no Microsoft Word 2003 usando o editor de fórmulas. As soluções para os problemas são apresentadas de forma detalhada.

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