IDZ 10.2 – Επιλογή 1. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Ας βρούμε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κάθετου στην επιφάνεια S στο σημείο M0(2, 1, –1).

Αναζητούμε την κλίση της επιφάνειας S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). Στο σημείο M0(2, 1, –1) έχουμε: grad(S) = (0, 2, 4). Εφόσον το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια S στο σημείο M0 είναι παράλληλο στη βαθμίδα της επιφάνειας, η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου έχει τη μορφή: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, δηλαδή y + 2z - 1 = 0. Η εξίσωση της κανονικής προς την επιφάνεια S στο σημείο Μ0 έχει τη μορφή: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, δηλαδή x + y + 2z - 8 = 0.

1. Ας βρούμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους της συνάρτησης z=ex2-y2 και βεβαιωθούμε ότι z''xy = z''yx.

Υπολογίζουμε τις πρώτες μερικές παραγώγους: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). Στη συνέχεια βρίσκουμε τις δεύτερες επιμέρους παράγωγες: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2 -y ^2)-4y^2e^(x^2-y^2). Σημειώστε ότι z''xy = z''yx, που σημαίνει ότι η συνάρτηση z=ex2-y2 ικανοποιεί την προϋπόθεση της ισότητας των μικτών παραγώγων.

1. Ας ελέγξουμε αν η συνάρτηση u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz ικανοποιεί την εξίσωση Laplace.

Ας υπολογίσουμε τον Laplace από τη συνάρτηση u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Αφού το Δu δεν ισούται με μηδέν, τότε η συνάρτηση u(x,y,z) δεν ικανοποιεί την εξίσωση Laplace.

1. Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση z=y√x – 2y^2 – x + 14y για ένα άκρο.

Υπολογίζουμε τις επιμέρους παραγώγους: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Να βρείτε τα ακίνητα σημεία: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Ελέγξτε την επαρκή συνθήκες για το άκρο: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Αφού z''xx

1. Ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης z=3x+y-xy στην περιοχή D, που οριοθετείται από τις ευθείες y=x, y=4, x=0.

Εκφράζουμε το y σε σχέση με το x στην εξίσωση y=4: y=4. Αντικαταστήστε το y=x στη συνάρτηση z=3x+y-xy: z=4x-2x^2. Υπολογίζουμε τις παραγώγους: z'x=4-4x, z''xx=-4. Βρείτε το κρίσιμο σημείο: z'x=0 => x=1, μετά y=1. Ελέγχουμε τις επαρκείς συνθήκες για το άκρο: z''xx=-4

IDZ 10.2 – Επιλογή 1. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν, το οποίο είναι μια συλλογή λύσεων σε μαθηματικές εργασίες που αναπτύχθηκε από την A.P. Ryabushko. Περιέχει λεπτομερείς και σαφείς λύσεις σε εργασίες που θα βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστούν για εξετάσεις.

Αυτό το προϊόν είναι διαθέσιμο για αγορά σε κατάστημα ψηφιακών ειδών σε όμορφα σχεδιασμένη μορφή html. Ο όμορφος σχεδιασμός διευκολύνει την ανάγνωση και τη μελέτη του υλικού, καθώς και τη γρήγορη εύρεση των πληροφοριών που χρειάζεστε. Αυτό το προϊόν είναι κατάλληλο τόσο για μαθητές όσο και για καθηγητές που θέλουν να ελέγξουν την ορθότητα της επίλυσης εργασιών.

Απόκτηση IDZ 10.2 – Επιλογή 1. Αποφάσεις της Ryabushko A.P. στο κατάστημα ψηφιακών ειδών είναι ένας γρήγορος και βολικός τρόπος για να αποκτήσετε ποιοτικό υλικό για να προετοιμαστείτε για εξετάσεις και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας στα μαθηματικά.

***

IDZ 10.2 – Επιλογή 1. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα σύνολο προβλημάτων στη μαθηματική ανάλυση, το οποίο καλύπτει τις ακόλουθες εργασίες:

1. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και της κάθετης σε δεδομένη επιφάνεια S στο σημείο M0(x0, y0, z0). Η επιφάνεια S δίνεται από την εξίσωση x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, και το σημείο M0 έχει συντεταγμένες (2, 1, – 1).

2. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις δεύτερες μερικές παραγώγους των υποδεικνυόμενων συναρτήσεων και να ελέγξουμε ότι z''xy = z''yx. Η συνάρτηση z(x,y) δίνεται από την εξίσωση z = ex2-y2.

3. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν η συνάρτηση u ικανοποιεί την καθορισμένη εξίσωση.

4. Είναι απαραίτητο να εξεταστεί η συνάρτηση z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y για το άκρο της.

5. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης z(x,y) = 3x + y – xy στην περιοχή D, που περιορίζονται από τις δεδομένες γραμμές y = x, y = 4, x = 0.

Το σύνολο προβλημάτων έχει σχεδιαστεί στο Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων. Οι λύσεις στα προβλήματα παρουσιάζονται σε αναλυτική μορφή.

***

1. Ένα πολύ βολικό ψηφιακό προϊόν για προετοιμασία εξετάσεων.
2. Οι λύσεις στα προβλήματα στο IPD 10.2 – Επιλογή 1 είναι καλογραμμένες και κατανοητές.
3. Μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων, που σας επιτρέπει να εξασκηθείτε στην επίλυση διαφορετικών τύπων εργασιών.
4. Η ψηφιακή μορφή σάς επιτρέπει να ελέγχετε γρήγορα και άνετα τις απαντήσεις σας.
5. Αποφάσεις Ryabushko A.P. περιέχουν λεπτομερείς εξηγήσεις, οι οποίες βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση του υλικού.
6. Η λήψη απαντήσεων σε κάθε εργασία εξοικονομεί σημαντικά χρόνο κατά τον έλεγχο των λύσεών σας.
7. IDZ 10.2 – Η επιλογή 1 είναι ιδανική για όσους προετοιμάζονται για εξετάσεις στα μαθηματικά ή τη φυσική.
8. Ένα πολύ χρήσιμο ψηφιακό προϊόν για προετοιμασία εξετάσεων.
9. Οι λύσεις σε προβλήματα στο IPD 10.2 – Επιλογή 1 είναι καλά δομημένες και κατανοητές.
10. Με τη βοήθεια αυτού του ψηφιακού προϊόντος, μπόρεσα να βελτιώσω σημαντικά το επίπεδο γνώσεών μου στα μαθηματικά.
11. Αποφάσεις Ryabushko A.P. στο IDZ 10.2 – Η επιλογή 1 με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα τη θεωρία και να εδραιώσω τις πρακτικές δεξιότητες.
12. Μια πολύ βολική μορφή για την παρουσίαση της ύλης, η οποία σας επιτρέπει να προετοιμαστείτε γρήγορα και αποτελεσματικά για την εξέταση.
13. Οι λύσεις σε προβλήματα στο IDZ 10.2 – Επιλογή 1 είναι καλά δομημένες και σε υψηλό επίπεδο.
14. Ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν που βοηθά στην προετοιμασία των εξετάσεων και βελτιώνει την κατανόηση της μαθηματικής θεωρίας.
15. Αποφάσεις Ryabushko A.P. στο IDZ 10.2 - Η Επιλογή 1 βοηθά πραγματικά στην κατάκτηση εργασιών και στη βελτίωση της ακαδημαϊκής απόδοσης.
16. Συνιστώ ανεπιφύλακτα αυτό το ψηφιακό προϊόν σε όποιον θέλει να περάσει τις εξετάσεις στα μαθηματικά του.
17. Ευχαριστώ πολύ τον συγγραφέα για ένα ψηφιακό προϊόν υψηλής ποιότητας που με βοήθησε να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις και να πάρω έναν εξαιρετικό βαθμό.

Ιδιαιτερότητες:

Μεγάλη επίλυση προβλημάτων! Με τη βοήθεια αυτού του IDZ, ολοκλήρωσα με επιτυχία τις εξετάσεις.

Είμαι ευγνώμων στον συγγραφέα για τις λεπτομερείς και κατανοητές εξηγήσεις των λύσεων προβλημάτων.

Το IDZ 10.2 - Option 1 είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο για την προετοιμασία για τις εξετάσεις μαθηματικών.

Με τη βοήθεια αυτού του IDZ, έχω βελτιώσει πολύ τις γνώσεις μου για τις διαφορικές εξισώσεις.

Λύσεις Ryabushko A.P. στο IPD 10.2 - Επιλογή 1 είναι πολύ σαφείς και κατανοητές.

Σας ευχαριστούμε για το IDZ 10.2 - Επιλογή 1! Με βοήθησε να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις και να πάρω υψηλό βαθμό.

Συνιστώ αυτό το ψηφιακό προϊόν σε όποιον θέλει να βελτιώσει τις μαθηματικές του δεξιότητες και να περάσει με επιτυχία την εξέταση.