IDZ 10.2 – Вариант 1. Решения Ryabushko A.P.

1. Нека намерим уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността S в точка M0(2, 1, –1).

Търсим градиента на повърхността S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). В точката M0(2, 1, –1) имаме: grad(S) = (0, 2, 4). Тъй като допирателната равнина към повърхността S в точка M0 е успоредна на градиента на повърхността, уравнението на допирателната равнина има формата: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, т.е. y + 2z - 1 = 0. Уравнението на нормалата към повърхността S в точка M0 има формата: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, тоест x + y + 2z - 8 = 0.

1. Нека намерим вторите частични производни на функцията z=ex2-y2 и се уверим, че z''xy = z''yx.

Изчисляваме първите частични производни: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). След това намираме вторите частични производни: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2 -y ^2)-4y^2e^(x^2-y^2). Обърнете внимание, че z''xy = z''yx, което означава, че функцията z=ex2-y2 удовлетворява условието за равенство на смесените производни.

1. Нека проверим дали функцията u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz удовлетворява уравнението на Лаплас.

Нека изчислим Лаплас от функцията u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Тъй като Δu не е равно на нула, тогава функцията u(x,y,z) не удовлетворява уравнението на Лаплас.

1. Нека разгледаме функцията z=y√x – 2y^2 – x + 14y за екстремум.

Изчисляваме частните производни: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Намерете стационарните точки: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Проверете достатъчното условия за екстремума: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Тъй като z''xx

1. Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията z=3x+y-xy в областта D, ограничена от линиите y=x, y=4, x=0.

Изразяваме y чрез x в уравнението y=4: y=4. Заместете y=x във функцията z=3x+y-xy: z=4x-2x^2. Изчисляваме производните: z'x=4-4x, z''xx=-4. Намерете критичната точка: z'x=0 => x=1, след това y=1. Проверяваме достатъчните условия за екстремума: z''xx=-4

IDZ 10.2 – Вариант 1. Решения Ryabushko A.P. е дигитален продукт, който представлява колекция от решения на задачи по математика, разработени от A.P. Рябушко. Той съдържа подробни, лесни за разбиране решения, за да помогне на студентите да разберат по-добре материала и да се подготвят за изпити.

Този продукт е достъпен за закупуване в магазин за цифрови стоки в красиво проектиран html формат. Красивият дизайн улеснява четенето и изучаването на материала, както и бързото намиране на необходимата информация. Този продукт е подходящ както за ученици, така и за учители, които искат да проверят правилността на решаването на задачи.

Придобиване на IDZ 10.2 – Вариант 1. Решения на Ryabushko A.P. в магазина за дигитални стоки е бърз и удобен начин да получите качествен материал за подготовка за изпити и да подобрите знанията си по математика.

***

IDZ 10.2 – Вариант 1. Решения Ryabushko A.P. е набор от задачи по математически анализ, който обхваща следните задачи:

1. Необходимо е да се намерят уравненията на допирателната равнина и нормалата към дадена повърхност S в точка M0(x0, y0, z0). Повърхнината S е дадена от уравнението x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, а точката M0 има координати (2, 1, – 1).

2. Необходимо е да се намерят вторите частни производни на посочените функции и да се провери дали z''xy = z''yx. Функцията z(x,y) е дадена от уравнението z = ex2-y2.

3. Необходимо е да се провери дали функцията u удовлетворява зададеното уравнение.

4. Необходимо е да се изследва функцията z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y за нейния екстремум.

5. Необходимо е да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията z(x,y) = 3x + y – xy в областта D, ограничена от дадените линии y = x, y = 4, x = 0.

Наборът от задачи е проектиран в Microsoft Word 2003 с помощта на редактора на формули. Решенията на проблемите са представени в подробна форма.

***

1. Много удобен дигитален продукт за подготовка за изпити.
2. Решенията на проблемите в IPD 10.2 – Вариант 1 са добре написани и лесни за разбиране.
3. Голям избор от задачи, позволяващи да се упражнявате в решаването на различни видове задачи.
4. Цифровият формат ви позволява бързо и удобно да проверявате отговорите си.
5. Решения Ryabushko A.P. съдържат подробни обяснения, което спомага за по-доброто разбиране на материала.
6. Наличието на отговори на всяка задача значително спестява време при проверка на вашите решения.
7. IDZ 10.2 – Вариант 1 е идеален за тези, които се подготвят за изпит по математика или физика.
8. Много полезен дигитален продукт за подготовка за изпити.
9. Решенията на проблемите в IPD 10.2 – Вариант 1 са добре структурирани и лесни за разбиране.
10. С помощта на този дигитален продукт успях значително да подобря нивото си на знания по математика.
11. Решения Ryabushko A.P. в IDZ 10.2 – Вариант 1 ми помогна да разбера по-добре теорията и да консолидирам практически умения.
12. Много удобен формат за представяне на материала, който ви позволява бързо и ефективно да се подготвите за изпита.
13. Решенията на проблемите в IDZ 10.2 – Вариант 1 са добре структурирани и на високо ниво.
14. Отличен цифров продукт, който помага при подготовката за изпити и подобрява разбирането на математическата теория.
15. Решения Ryabushko A.P. в IDZ 10.2 – Вариант 1 наистина помага при овладяването на задачите и подобряването на академичните постижения.
16. Силно препоръчвам този дигитален продукт на всеки, който иска да издържи изпита си по математика.
17. Много благодаря на автора за висококачествения дигитален продукт, който ми помогна да се подготвя за изпита и да получа отлична оценка.

Особености:

Страхотно решаване на проблеми! С помощта на този IDZ завърших успешно изпита.

Благодарен съм на автора за подробни и разбираеми обяснения на решенията на проблемите.

IDZ 10.2 - Вариант 1 е отлично помагало за подготовка за изпита по математика.

С помощта на този IDZ значително подобрих знанията си по диференциални уравнения.

Решения Ryabushko A.P. в IPD 10.2 - Вариант 1 са много ясни и лесни за разбиране.

Благодарим ви за IDZ 10.2 - Вариант 1! Той ми помогна да се подготвя за изпита и да получа висока оценка.

Препоръчвам този дигитален продукт на всеки, който иска да подобри своите математически умения и да издържи успешно изпита.