IDZ 10.2 – Opzione 1. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Troviamo le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie S nel punto M0(2, 1, –1).

Cerchiamo il gradiente della superficie S: grad(S) = (2x-4, 2y, 2z+6). Nel punto M0(2, 1, –1) abbiamo: grad(S) = (0, 2, 4). Poiché il piano tangente alla superficie S nel punto M0 è parallelo al gradiente della superficie, l'equazione del piano tangente ha la forma: 0(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, cioè y + 2z - 1 = 0. L'equazione della normale alla superficie S nel punto M0 ha la forma: 2(x-2) + 2(y-1) + 4(z+1) = 0, cioè x + y + 2z - 8 = 0.

1. Troviamo le derivate parziali seconde della funzione z=ex2-y2 e assicuriamoci che z''xy = z''yx.

Calcoliamo le derivate parziali prime: z'x=2xe^(x^2-y^2), z'y=-2ye^(x^2-y^2). Successivamente troviamo le derivate parziali seconde: z''xy=2e^(x^2-y^2)-4x^2e^(x^2-y^2), z''yx=2e^(x^2 -y ^2)-4y^2e^(x^2-y^2). Si noti che z''xy = z''yx, il che significa che la funzione z=ex2-y2 soddisfa la condizione di uguaglianza delle derivate miste.

1. Controlliamo se la funzione u(x,y,z) = 2x^2+3y^2+z^2-4xy-6xz+8yz soddisfa l'equazione di Laplace.

Calcoliamo Laplace dalla funzione u(x,y,z): Δu = u''xx + u''yy + u''zz = 4 + 6 + 2 = 12. Poiché Δu non è uguale a zero, allora la funzione u(x,y,z) non soddisfa l'equazione di Laplace.

1. Esaminiamo la funzione z=y√x – 2y^2 – x + 14y per un estremo.

Calcoliamo le derivate parziali: z'x= y/(2√x) - 1, z'y= √x - 4y + 14. Troviamo i punti stazionari: z'x=0 => y/(2√x) = 1 = > y=2√x, z'y=0 => √x - 4y + 14 = 0 => √x - 8√x + 14 = 0 => x = 4, y = 4. Controllare i valori sufficienti condizioni per l'estremo: z ''xx= -y/(4x^(3/2)) 0. Poiché z''xx

1. Troviamo i valori più grande e più piccolo della funzione z=3x+y-xy nell'area D, delimitata dalle linee y=x, y=4, x=0.

Esprimiamo y in termini di x nell'equazione y=4: y=4. Sostituisci y=x nella funzione z=3x+y-xy: z=4x-2x^2. Calcoliamo le derivate: z'x=4-4x, z''xx=-4. Trova il punto critico: z'x=0 => x=1, quindi y=1. Controlliamo le condizioni sufficienti per l'estremo: z''xx=-4

IDZ 10.2 – Opzione 1. Soluzioni Ryabushko A.P. è un prodotto digitale, ovvero una raccolta di soluzioni a compiti di matematica sviluppati da A.P. Ryabushko. Contiene soluzioni dettagliate e chiare ai compiti che aiuteranno gli studenti a comprendere meglio il materiale e a prepararsi per gli esami.

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IDZ 10.2 – Opzione 1. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di problemi di analisi matematica, che copre i seguenti compiti:

1. È necessario trovare le equazioni del piano tangente e normale ad una data superficie S nel punto M0(x0, y0, z0). La superficie S è data dall'equazione x2 + y2 + z2 + 6z – 4x + 8 = 0, e il punto M0 ha coordinate (2, 1, – 1).

2. Occorre trovare le derivate parziali seconde delle funzioni indicate e verificare che z''xy = z''yx. La funzione z(x,y) è data dall'equazione z = ex2-y2.

3. È necessario verificare se la funzione u soddisfa l'equazione specificata.

4. È necessario esaminare la funzione z(x,y) = y√x – 2y2 – x + 14y per il suo estremo.

5. È necessario trovare i valori più grande e più piccolo della funzione z(x,y) = 3x + y – xy nella regione D, limitata dalle linee indicate y = x, y = 4, x = 0.

L'insieme dei problemi è progettato in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule. Le soluzioni ai problemi sono presentate in forma dettagliata.

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