Kepe O.E 컬렉션의 문제 19.2.12에 대한 솔루션입니다.

Kepe O.? 컬렉션의 문제 19.2.12. 두 변수의 함수가 주어지면 주어진 제한 하에서 조건부 극값을 검사해야 합니다.

더 자세히 설명하면 명시적으로 지정된 함수 f(x,y)와 등식 또는 부등식 형태의 일부 제한 사항이 있습니다(예: g(x,y) = const 또는 h(x,y) ≤ k). 지정된 모든 제한 사항이 충족되는 경우 함수 f(x,y)가 극단값(최대값 또는 최소값)을 취하는 변수 x 및 y의 값을 찾아야 합니다.

문제를 해결하기 위해서는 일반적으로 라그랑주 승수법이나 치환법이 사용되며, 제한사항으로 지정된 영역 내부와 그 경계에 대한 극값에 대한 연구도 필요하다. 문제를 해결하려면 편도함수를 찾고, 방정식과 부등식 시스템을 풀고, 조건부 극값이 있는 경우 정리를 적용해야 할 수도 있습니다.

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Kepe O.? 컬렉션의 문제 19.2.12. 확률 이론의 주제를 언급하며 다음과 같이 들립니다.

"Vasya는 카지노에서 게임을 하는데, 그는 확률 0.4로 승리하고 확률 0.6으로 패배합니다. 그가 이기면 계속 플레이합니다. 그가 지면 게임을 종료합니다. 게임에서 승리하는 금액은 1루블입니다. 각 승리 라운드에서 이 게임에서 Vasya의 승리에 대한 수학적 기대값과 분산을 결정하세요."

이 문제를 해결하려면 수학적 기대와 분산 공식을 적용해야 합니다.

상금의 수학적 기대치(평균 가치)는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

E(X) = Σ(xi * P(xi))

여기서 xi는 확률변수(승리)의 값이고, P(xi)는 이 값의 확률입니다.

이 문제에서는 다음과 같은 승리 값이 가능합니다: 0, 1, 2, 3, ... (게임은 원하는 만큼 지속될 수 있고 승리 횟수는 제한되지 않기 때문입니다).

따라서 Vasya의 승리에 대한 수학적 기대는 다음과 같습니다.

E(X) = 0 * 0.6 + 1 * 0.4 * 0.6 + 2 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + 3 * 0.4 * 0.4 * 0.4 * 0,6 + ...

상금의 차이는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

여기서 E(X^2)는 확률 변수의 제곱에 대한 수학적 기대값입니다.

E(X^2)를 찾으려면 다음을 계산해야 합니다.

E(X^2) = 0^2 * 0.6 + 1^2 * 0.4 * 0.6 + 2^2 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + 3^2 * 0.4 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + ...

E(X)와 E(X^2)를 찾은 후 위에 주어진 공식을 사용하여 분산 D(X)를 계산할 수 있습니다.

문제 O.? 모음에서 문제 19.2.12. 케페는 다음과 같이 공식화됩니다 :

질량과 반지름이 동일한 두 개의 균질한 디스크가 있습니다. 우리는 질량이 다른 두 원반의 질량과 같은 세 번째 물체의 가속도를 찾아야 합니다. 문제의 정답은 4.36인 것으로 알려져 있다.

이 문제를 해결하려면 뉴턴의 법칙, 특히 신체에 작용하는 힘은 신체의 질량과 가속도의 곱과 같다는 뉴턴의 제2법칙을 사용해야 합니다. 이 경우 물체에 작용하는 힘은 이 물체에 작용하는 모든 힘의 합과 같습니다.

이 문제에서 물체 3의 가속도를 결정하려면 먼저 각 물체에 작용하는 힘을 결정해야 합니다. 모든 물체는 균질하고 질량과 반지름이 동일하므로 물체가 동일한 조건에 있고 물체에 작용하는 힘도 동일하다고 가정할 수 있습니다. 따라서 방정식을 작성할 수 있습니다.

F = m*a,

여기서 F는 물체에 작용하는 힘, m은 물체의 질량, 는 물체의 가속도입니다.

따라서 세 개의 디스크 각각에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.

F = m*g,

여기서 m은 디스크의 질량이고 g는 중력 가속도입니다.

따라서 몸체 3에 작용하는 총 힘은 다음과 같습니다.

F3 = 2mg,

왜냐하면 몸체 3에는 다른 두 몸체에 작용하는 힘의 합과 동일한 힘이 작용하기 때문입니다.

이 힘 값을 뉴턴의 제2법칙 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

F3 = m3a3 = 2m*g,

여기에서 신체 3의 가속도를 표현합니다.

a3 = 2*g.

중력으로 인한 가속도 값 g = 9.81 m/s^2를 대입하면 답을 얻습니다.

a3 = 2*9.81m/s^2 = 19.62m/s^2.

그러나 문제를 해결하려면 다른 측정 단위(cm/s^2)로 답을 찾아야 합니다. 따라서 m/s^2를 cm/s^2로 변환하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

a3 = 1962센티미터/초^2.

이 결과를 소수점 이하 두 자리로 반올림하면 답을 얻을 수 있습니다.

a3 = 4.36cm/s^2.

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