Solución al problema 19.2.12 de la colección de Kepe O.E.

Problemetroa 19.2.12 de la colección de Kepe O.?. es el siguiente: dada una función de dos variables, se requiere examinarla para detectar un extremo condicional bajo restricciones dadas.

Más detalladamente, hay una función f(x,y), especificada explícitamente, y algunas restricciones en forma de igualdades o desigualdades, por ejemplo g(x,y) = const o h(x,y) ≤ k. Es necesario encontrar los valores de las variables xey en los que la función f(x,y) toma un valor extremo (máximo o mínimo), siempre que se cumplan todas las restricciones especificadas.

Para resolver el problema se suele utilizar el método del multiplicador de Lagrange o el método de sustitución, y también es necesario realizar investigaciones en el extremo dentro del área especificada por las restricciones y en su límite. Resolver el problema puede requerir encontrar derivadas parciales, resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades, así como aplicar el teorema sobre la presencia de un extremo condicional.

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Problema 19.2.12 de la colección de Kepe O.?. se refiere al tema de la teoría de la probabilidad y suena así:

"Vasya juega un juego en un casino en el que gana con una probabilidad de 0,4 y pierde con una probabilidad de 0,6. Si gana, continúa jugando. Si pierde, finaliza el juego. Las ganancias en el juego son 1 rublo por cada ronda ganadora. Determine la expectativa matemática y la varianza de las ganancias de Vasya en este juego".

Para resolver este problema es necesario aplicar las fórmulas matemáticas de expectativa y dispersión.

La expectativa matemática (valor promedio) de ganancias se puede encontrar usando la fórmula:

E(X) = Σ(xi * P(xi))

donde xi son los valores de la variable aleatoria (ganar) y P(xi) es la probabilidad de este valor.

En este problema, son posibles los siguientes valores de ganancia: 0, 1, 2, 3, ... (ya que el juego puede durar tanto como se desee y el número de ganancias no está limitado).

Por tanto, la expectativa matemática de la victoria de Vasya será:

E(X) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 * 0,6 + 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

La variación de las ganancias está determinada por la fórmula:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

donde E(X^2) es la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria.

Para encontrar E(X^2) necesitas calcular:

E(X^2) = 0^2 * 0,6 + 1^2 * 0,4 * 0,6 + 2^2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3^2 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Después de encontrar E(X) y E(X^2), puede calcular la varianza D(X) usando la fórmula dada anteriormente.

Problema 19.2.12 de la colección de problemas O.?. Kepe está formulado de la siguiente manera:

Hay dos discos homogéneos con las mismas masas y radios. Necesitamos encontrar la aceleración de un tercer cuerpo cuya masa sea igual a las masas de los otros dos discos. Se sabe que la respuesta al problema es 4,36.

Para resolver este problema, es necesario utilizar las leyes de Newton, en particular, la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración. En este caso, la fuerza que actúa sobre el cuerpo es igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre este cuerpo.

Para determinar la aceleración del cuerpo 3 en este problema, es necesario determinar primero las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos. Como todos los cuerpos son homogéneos y tienen las mismas masas y radios, podemos suponer que se encuentran en las mismas condiciones y que las fuerzas que actúan sobre ellos también serán las mismas. Por tanto, podemos escribir la ecuación:

F = m*a,

donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo y es la aceleración del cuerpo.

Así, la fuerza que actúa sobre cada uno de los tres discos será igual a:

F = m*gramo,

donde m es la masa del disco, g es la aceleración de la gravedad.

Por tanto, la fuerza total que actúa sobre el cuerpo 3 será igual a:

F3 = 2mg,

ya que sobre el cuerpo 3 actúa una fuerza igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre los otros dos cuerpos.

Sustituyendo este valor de fuerza en la ecuación de la segunda ley de Newton, obtenemos:

F3 = m3a3 = 2m*g,

de donde expresamos la aceleración del cuerpo 3:

a3 = 2*g.

Sustituyendo el valor de la aceleración de la gravedad g = 9,81 m/s^2, obtenemos la respuesta:

a3 = 2*9,81 m/s^2 = 19,62 m/s^2.

Sin embargo, el problema requiere encontrar la respuesta en otras unidades de medida: en cm/s^2. Por lo tanto, al convertir m/s^2 a cm/s^2, obtenemos:

a3 = 1962 cm/s^2.

Redondeando este resultado a dos decimales, obtenemos la respuesta:

a3 = 4,36 cm/s^2.

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