Lösung für Problem 19.2.12 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 19.2.12 aus der SaMmlung von Kepe O.?. lautet wie folgt: Eine gegebene Funktion zweier Variablen muss unter bestimmten Einschränkungen auf ein bedingtes Extremum untersucht werden.

Genauer gesagt gibt es eine explizit angegebene Funktion f(x,y) und einige Einschränkungen in Form von Gleichheiten oder Ungleichungen, zum Beispiel g(x,y) = const oder h(x,y) ≤ k. Es ist notwendiG, die Werte der Variablen x und y zu finden, bei denen die Funktion f(x,y) einen Extremwert (Maximum oder Minimum) annimmt, sofern alle angegebenen Einschränkungen erfüllt sind.

Um das Problem zu lösen, wird üblicherweise die Lagrange-Multiplikatormethode oder die Substitutionsmethode verwendet, und es ist auch notwendig, das Extremum innerhalb des durch die Einschränkungen festgelegten Bereichs und an seiner Grenze zu untersuchen. Um das Problem zu lösen, kann es erforderlich sein, partielle Ableitungen zu finden, Gleichungs- und Ungleichungssysteme zu lösen sowie den Satz über das Vorhandensein eines bedingten Extremums anzuwenden.

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Aufgabe 19.2.12 aus der Sammlung von Kepe O.?. bezieht sich auf das Thema Wahrscheinlichkeitstheorie und klingt so:

„Vasya spielt ein Spiel in einem Casino, bei dem er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 gewinnt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 verliert. Wenn er gewinnt, spielt er weiter. Wenn er verliert, beendet er das Spiel. Der Gewinn im Spiel beträgt 1 Rubel jede Gewinnrunde. Bestimmen Sie die mathematische Erwartung und Varianz von Vasyas Gewinnen in diesem Spiel.“

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die mathematischen Erwartungs- und Streuungsformeln anzuwenden.

Die mathematische Erwartung (Durchschnittswert) der Gewinne lässt sich mit der Formel ermitteln:

E(X) = Σ(xi * P(xi))

Dabei sind xi die Werte der Zufallsvariablen (Gewinn) und P(xi) die Wahrscheinlichkeit dieses Wertes.

Bei dieser Aufgabe sind folgende Gewinnwerte möglich: 0, 1, 2, 3, ... (da das Spiel beliebig lange dauern kann und die Anzahl der Gewinne nicht begrenzt ist).

Somit wird die mathematische Erwartung für Vasyas Sieg sein:

E(X) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 * 0,6 + 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Die Gewinnvarianz wird durch die Formel bestimmt:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

wobei E(X^2) der mathematische Erwartungswert des Quadrats der Zufallsvariablen ist.

Um E(X^2) zu finden, müssen Sie Folgendes berechnen:

E(X^2) = 0^2 * 0,6 + 1^2 * 0,4 * 0,6 + 2^2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3^2 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Nachdem Sie E(X) und E(X^2) ermittelt haben, können Sie die Varianz D(X) mithilfe der oben angegebenen Formel berechnen.

Aufgabe 19.2.12 aus der Aufgabensammlung O.?. Kepe ist wie folgt formuliert:

Es gibt zwei homogene Scheiben mit gleichen Massen und Radien. Wir müssen die Beschleunigung eines dritten Körpers ermitteln, dessen Masse gleich den Massen der beiden anderen Scheiben ist. Es ist bekannt, dass die Antwort auf das Problem 4,36 lautet.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Newtonschen Gesetze zu verwenden, insbesondere das zweite Newtonsche Gesetz, das besagt, dass die auf einen Körper wirkende Kraft gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und seiner Beschleunigung ist. In diesem Fall ist die auf den Körper wirkende Kraft gleich der Summe aller auf diesen Körper wirkenden Kräfte.

Um die Beschleunigung von Körper 3 in diesem Problem zu bestimmen, müssen zunächst die Kräfte bestimmt werden, die auf jeden der Körper wirken. Da alle Körper homogen sind und die gleichen Massen und Radien haben, können wir davon ausgehen, dass sie sich in den gleichen Bedingungen befinden und auch die auf sie einwirkenden Kräfte gleich sind. Daher können wir die Gleichung schreiben:

F = m*a,

Dabei ist F die auf den Körper wirkende Kraft, m die Masse des Körpers und die Beschleunigung des Körpers.

Somit ist die auf jede der drei Scheiben wirkende Kraft gleich:

F = m*g,

Dabei ist m die Masse der Scheibe und g die Erdbeschleunigung.

Daher ist die auf Körper 3 wirkende Gesamtkraft gleich:

F3 = 2mg,

da auf Körper 3 eine Kraft einwirkt, die der Summe der Kräfte entspricht, die auf die beiden anderen Körper wirken.

Wenn wir diesen Kraftwert in die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes einsetzen, erhalten wir:

F3 = m3a3 = 2m*g,

von wo aus wir die Beschleunigung von Körper 3 ausdrücken:

a3 = 2*g.

Wenn wir den Wert der Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s^2 einsetzen, erhalten wir die Antwort:

a3 = 2*9,81 m/s^2 = 19,62 m/s^2.

Das Problem erfordert jedoch, die Antwort in anderen Maßeinheiten zu finden – in cm/s^2. Wenn wir also m/s^2 in cm/s^2 umrechnen, erhalten wir:

a3 = 1962 cm/s^2.

Wenn wir dieses Ergebnis auf zwei Dezimalstellen runden, erhalten wir die Antwort:

a3 = 4,36 cm/s^2.

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