Soluzione al problema 19.2.12 dalla collezione di Kepe O.E.

ProbleMa 19.2.12 dalla collezione di Kepe O.?. è la seguente: data una funzione di due variabili, è necessario esaminarla per un estremo condizionale sotto determinate restrizioni.

Più in dettaglio, esiste una funzione f(x,y), specificata esplicitamente, e alcune restrizioni sotto forma di uguaglianze o disuguaglianze, ad esempio g(x,y) = const oppure h(x,y) ≤ k. È necessario trovare i valori delle variabili xey ai quali la funzione f(x,y) assume un valore estremo (massimo o minimo), a condizione che siano soddisfatte tutte le restrizioni specificate.

Per risolvere il problema, viene solitamente utilizzato il metodo del moltiplicatore di Lagrange o il metodo di sostituzione, ed è anche necessario condurre ricerche sull'estremo all'interno della regione specificata dalle restrizioni e sul suo confine. Per risolvere il problema può essere necessario trovare derivate parziali, risolvere sistemi di equazioni e disequazioni, nonché applicare il teorema sulla presenza di un estremo condizionale.

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Problema 19.2.12 dalla collezione di Kepe O.?. si riferisce al tema della teoria della probabilità e suona così:

"Vasya gioca in un casinò in cui vince con probabilità 0,4 e perde con probabilità 0,6. Se vince, continua a giocare. Se perde, termina il gioco. La vincita nel gioco è di 1 rublo per ogni round vincente. Determina l'aspettativa matematica e la varianza delle vincite di Vasya in questo gioco.

Per risolvere questo problema è necessario applicare le formule matematiche di aspettativa e dispersione.

L'aspettativa matematica (valore medio) delle vincite può essere trovata utilizzando la formula:

E(X) = Σ(xi * P(xi))

dove xi sono i valori della variabile casuale (vincita) e P(xi) è la probabilità di questo valore.

In questo problema sono possibili i seguenti valori vincenti: 0, 1, 2, 3, ... (poiché il gioco può durare quanto desiderato e il numero di vincite non è limitato).

Pertanto, l’aspettativa matematica della vittoria di Vasya sarà:

E(X) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 * 0,6 + 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

La varianza delle vincite è determinata dalla formula:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

dove E(X^2) è l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale.

Per trovare E(X^2) devi calcolare:

E(X^2) = 0^2 * 0,6 + 1^2 * 0,4 * 0,6 + 2^2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3^2 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Dopo aver trovato E(X) ed E(X^2), puoi calcolare la varianza D(X) utilizzando la formula sopra riportata.

Problema 19.2.12 dalla raccolta dei problemi O.?. Kepe è formulato come segue:

Esistono due dischi omogenei con la stessa massa e lo stesso raggio. Dobbiamo trovare l'accelerazione di un terzo corpo la cui massa sia uguale alle masse degli altri due dischi. È noto che la risposta al problema è 4.36.

Per risolvere questo problema è necessario utilizzare le leggi di Newton, in particolare la seconda legge di Newton, la quale afferma che la forza che agisce su un corpo è uguale al prodotto della massa del corpo per la sua accelerazione. In questo caso la forza che agisce sul corpo è uguale alla somma di tutte le forze che agiscono su quel corpo.

Per determinare l'accelerazione del corpo 3 in questo problema, è necessario prima determinare le forze che agiscono su ciascuno dei corpi. Poiché tutti i corpi sono omogenei e hanno le stesse masse e raggi, possiamo supporre che si trovino nelle stesse condizioni e anche le forze che agiscono su di essi saranno le stesse. Pertanto possiamo scrivere l’equazione:

F = m*a,

dove F è la forza che agisce sul corpo, m è la massa del corpo e è l'accelerazione del corpo.

Pertanto la forza agente su ciascuno dei tre dischi sarà pari a:

F = m*G,

dove m è la massa del disco, g è l'accelerazione di gravità.

Pertanto la forza totale agente sul corpo 3 sarà pari a:

F3 = 2mg,

poiché sul corpo 3 agisce una forza pari alla somma delle forze agenti sugli altri due corpi.

Sostituendo questo valore di forza nell'equazione della seconda legge di Newton, otteniamo:

F3 = m3a3 = 2m*g,

da dove esprimiamo l'accelerazione del corpo 3:

a3 = 2*g.

Sostituendo il valore dell'accelerazione dovuta alla gravità g = 9,81 m/s^2, otteniamo la risposta:

a3 = 2*9,81 m/s^2 = 19,62 m/s^2.

Tuttavia, il problema richiede di trovare la risposta in altre unità di misura: cm/s^2. Pertanto, convertendo m/s^2 in cm/s^2, otteniamo:

a3 = 1962 cm/s^2.

Arrotondando questo risultato a due cifre decimali, otteniamo la risposta:

a3 = 4,36 cm/s^2.

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