Kepe O.E. のコレクションからの問題 19.2.12 の解決策。

Kepe O.? のコレクションからの問題 19.2.12。は次のとおりです。2 つの変数の関数が与えられた場合、指定された制限の下で条件付き極値を調べる必要があります。

より詳細には、明示的に指定された関数 f(x,y) と、等式または不等式の形でのいくつかの制限 (例: g(x,y) = const または h(x,y) ≤ k) があります。指定された制限がすべて満たされる場合、関数 f(x,y) が極値 (最大値または最小値) をとる変数 x および y の値を見つける必要があります。

この問題を解決するには、通常、ラグランジュ乗数法や代入法が使用されますが、制約で指定された領域内の極値やその境界の調査も必要です。この問題を解決するには、条件付き極値の存在に関する定理を適用するだけでなく、偏導関数を見つけたり、連立方程式や不等式を解いたりする必要がある場合があります。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 19.2.12。これは確率論のトピックを指しており、次のように聞こえます。

「ヴァシャはカジノでゲームをしますが、確率 0.4 で勝ち、確率 0.6 で負けます。勝てばプレイを続け、負ければゲームを終了します。ゲームでの賞金は 1 ルーブルです。各勝利ラウンド。このゲームでの Vasya の賞金の数学的期待と分散を決定します。」

この問題を解決するには、数学的な期待値と分散の公式を適用する必要があります。

賞金の数学的期待値 (平均値) は、次の式を使用して求めることができます。

E(X) = Σ(xi * P(xi))

ここで、xi は確率変数の値 (勝ち)、P(xi) はこの値の確率です。

この問題では、次の勝ちの値が考えられます: 0、1、2、3、... (ゲームは必要なだけ継続でき、勝ちの数に制限がないため)。

したがって、Vasya の勝利の数学的期待は次のようになります。

E(X) = 0 * 0.6 + 1 * 0.4 * 0.6 + 2 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + 3 * 0.4 * 0.4 * 0.4 * 0,6 + ...

賞金の分散は次の式で求められます。

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

ここで、E(X^2) は確率変数の 2 乗の数学的期待値です。

E(X^2) を見つけるには、次の計算を行う必要があります。

E(X^2) = 0^2 * 0.6 + 1^2 * 0.4 * 0.6 + 2^2 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + 3^2 * 0.4 * 0.4 * 0.4 * 0.6 + ...

E(X) と E(X^2) を見つけたら、上記の式を使用して分散 D(X) を計算できます。

問題集O.?の問題19.2.12。 Kepe は次のように定式化されます。

同じ質量と半径を持つ 2 つの均質な円盤があります。他の 2 つの円盤の質量と等しい質量を持つ 3 番目の物体の加速度を見つける必要があります。この問題の答えは 4.36 であることが知られています。

この問題を解決するには、ニュートンの法則、特に物体に作用する力は物体の質量と加速度の積に等しいというニュートンの第 2 法則を使用する必要があります。この場合、物体に作用する力は、この物体に作用するすべての力の合計に等しくなります。

この問題で物体 3 の加速度を決定するには、まず各物体に作用する力を決定する必要があります。すべての物体は均質で、同じ質量と半径を持っているため、それらは同じ条件にあり、それらに作用する力も同じであると仮定できます。したがって、次の方程式を書くことができます。

F = m*a、

ここで、F は物体に作用する力、m は物体の質量、m は物体の加速度です。

したがって、3 つのディスクのそれぞれに作用する力は次のようになります。

F = m*g、

ここで、m は円盤の質量、g は重力加速度です。

したがって、ボディ 3 に作用する力の合計は次のようになります。

F3 = 2mg、

物体 3 には、他の 2 つの物体に作用する力の合計に等しい力が作用するためです。

この力の値をニュートンの第 2 法則の方程式に代入すると、次のようになります。

F3 = m3a3 = 2うーん、

ここから、物体 3 の加速度を表します。

a3 = 2*g。

重力加速度 g = 9.81 m/s^2 の値を代入すると、次の答えが得られます。

a3 = 2*9.81 m/s^2 = 19.62 m/s^2。

ただし、この問題では、他の測定単位 (cm/s^2) で答えを見つける必要があります。したがって、m/s^2 を cm/s^2 に変換すると、次のようになります。

a3 = 1962 cm/s^2。

この結果を小数点第 2 位に四捨五入すると、次の答えが得られます。

a3 = 4.36 cm/s^2。

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