Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E.

Problém 19.2.12 ze sbírky Kepe O.?. je následující: je-li daná funkce dvou proměnných, je třeba ji zkoumat na podmíněný extrém za daných omezení.

Podrobněji je zde explicitně specifikovaná funkce f(x,y) a některá omezení ve formě rovností nebo nerovností, například g(x,y) = const nebo h(x,y) ≤ k. Je nutné najít hodnoty proměnných x a y, ve kterých funkce f(x,y) nabývá extrémní hodnoty (maximum nebo minimum), pokud jsou splněna všechna zadaná omezení.

K řešení problému se obvykle používá Lagrangeova multiplikační metoda nebo substituční metoda, dále je nutné provést výzkum na extrému uvnitř oblasti vymezené omezeními a na její hranici. Řešení problému může vyžadovat nalezení parciálních derivací, řešení soustav rovnic a nerovnic a také aplikaci věty o přítomnosti podmíněného extrému.

***

Problém 19.2.12 ze sbírky Kepe O.?. odkazuje na téma teorie pravděpodobnosti a zní takto:

"Vasya hraje hru v kasinu, ve které vyhraje s pravděpodobností 0,4 a prohraje s pravděpodobností 0,6. Pokud vyhraje, pak pokračuje ve hře. Pokud prohraje, pak hru ukončí. Výhry ve hře jsou 1 rubl za každé vítězné kolo. Určete matematické očekávání a rozptyl výher Vasyi v této hře."

K vyřešení tohoto problému je nutné použít matematické vzorce očekávání a disperze.

Matematické očekávání (průměrná hodnota) výher lze zjistit pomocí vzorce:

E(X) = Σ(xi * P(xi))

kde xi jsou hodnoty náhodné proměnné (vítězné) a P(xi) je pravděpodobnost této hodnoty.

V tomto problému jsou možné následující výherní hodnoty: 0, 1, 2, 3, ... (protože hra může trvat libovolně dlouho a počet výher není omezen).

Matematické očekávání vítězství Vasyi tedy bude:

E(X) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 * 0,6 + 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Rozptyl výher je určen vzorcem:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

kde E(X^2) je matematické očekávání druhé mocniny náhodné veličiny.

Chcete-li najít E(X^2), musíte vypočítat:

E(X^2) = 0^2 * 0,6 + 1^2 * 0,4 * 0,6 + 2^2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3^2 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Po nalezení E(X) a E(X^2) můžete vypočítat rozptyl D(X) pomocí výše uvedeného vzorce.

Úloha 19.2.12 ze sbírky úloh O.?. Kepe je formulován takto:

Existují dva homogenní disky se stejnými hmotnostmi a poloměry. Potřebujeme najít zrychlení třetího tělesa, jehož hmotnost se rovná hmotnostem ostatních dvou disků. Je známo, že odpověď na problém je 4,36.

K vyřešení tohoto problému je nutné použít Newtonovy zákony, zejména druhý Newtonův zákon, který říká, že síla působící na těleso je rovna součinu hmotnosti tělesa a jeho zrychlení. V tomto případě je síla působící na těleso rovna součtu všech sil působících na toto těleso.

Pro určení zrychlení tělesa 3 v této úloze je nutné nejprve určit síly působící na každé z těles. Protože všechna tělesa jsou homogenní a mají stejné hmotnosti a poloměry, můžeme předpokládat, že jsou ve stejných podmínkách a také síly, které na ně působí, budou stejné. Můžeme tedy napsat rovnici:

F = m*a,

kde F je síla působící na těleso, m je hmotnost tělesa a je zrychlení tělesa.

Síla působící na každý ze tří disků bude tedy rovna:

F = m*G,

kde m je hmotnost disku, g je gravitační zrychlení.

Celková síla působící na těleso 3 bude tedy rovna:

F3 = 2mg,

protože na těleso 3 působí síla, která se rovná součtu sil působících na další dvě tělesa.

Dosazením této hodnoty síly do rovnice druhého Newtonova zákona získáme:

F3 = m3a3 = 2m*g,

odkud vyjadřujeme zrychlení tělesa 3:

a3 = 2 x g.

Dosadíme-li hodnotu tíhového zrychlení g = 9,81 m/s^2, dostaneme odpověď:

a3 = 2 x 9,81 m/s^2 = 19,62 m/s^2.

Problém však vyžaduje najít odpověď v jiných měrných jednotkách – v cm/s^2. Proto převodem m/s^2 na cm/s^2 dostaneme:

a3 = 1962 cm/s^2.

Zaokrouhlením tohoto výsledku na dvě desetinná místa dostaneme odpověď:

a3 = 4,36 cm/s^2.

***

1. Velmi užitečný digitální produkt!
2. Dobré řešení problému ze sbírky Kepe O.E.
3. Díky tomuto produktu jsem problém vyřešil rychle a snadno.
4. Velmi se mi líbilo, že řešení bylo doplněno podrobným vysvětlením.
5. Výborná volba pro ty, kteří se připravují na zkoušky nebo olympiády.
6. Doporučuji všem zájemcům o matematiku.
7. Skvělý digitální produkt, který vám pomůže pochopit složité problémy.
8. Je velmi pohodlné mít přístup k řešení problému kdykoli a kdekoli.
9. Tento produkt mi pomohl připravit se na zkoušku a získat dobré skóre.
10. Hodně mi to usnadnilo život a ušetřilo mi spoustu času a úsilí.

Zvláštnosti:

Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. - skvělý digitální produkt pro studenty a školáky.

Díky tomuto řešení problému můžete výrazně zkrátit dobu přípravy na zkoušky.

Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. prezentovány ve vhodném formátu a snadno čitelné.

Tento digitální produkt pomáhá lépe porozumět teorii a upevnit znalosti v praxi.

Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. - skvělá volba pro ty, kteří rádi studují látku sami.

Tento produkt je pro učitele nepostradatelným pomocníkem při přípravě lekcí a přednášek.

Řešením úlohy 19.2.12 si můžete snadno otestovat své znalosti a dovednosti při řešení problémů.

Tento digitální produkt pokrývá různé aspekty matematiky a pomáhá rozšířit vaše obzory v této oblasti.

Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. - skvělý způsob přípravy na olympiády a soutěže v matematice.

Pořízení řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. Je to investice do vašeho vzdělání a budoucnosti.

Řešení problému 19.2.12 ze sbírky Kepe O.E. je skvělý digitální produkt pro studenty, kteří studují matematiku.

Díky tomuto digitálnímu produktu jsem získal rychlý a kvalitní přístup k řešení problému 19.2.12.

Tento digitální produkt mi pomohl porozumět látce hlouběji a lépe se připravit na zkoušku.

Doporučuji tento digitální produkt všem svým přátelům, kteří studují matematiku.

Byl jsem příjemně překvapen, jak pohodlné je použití tohoto digitálního produktu pro řešení problémů.

Tento digitální produkt mi pomohl ušetřit spoustu času při přípravě na zkoušku.

Ocenil jsem vysokou kvalitu řešení problému 19.2.12, které tento digitální produkt poskytuje.

Tento digitální produkt je skvělým nástrojem pro samostatnou práci a rozšiřování znalostí.

Díky tomuto digitálnímu produktu se cítím jistější ve svých znalostech.

Rychle jsem našel správné řešení problému díky snadné navigaci a vyhledávání v tomto digitálním produktu.