Solução para o problema 19.2.12 da coleção de Kepe O.E.

Probleeua 19.2.12 da coleção de Kepe O.?. é o seguinte: dada uma função de duas variáveis, é necessário examiná-la para um extremo condicional sob determinadas restrições.

Mais detalhadamente, existe uma função f(x,y), especificada explicitamente, e algumas restrições na forma de igualdades ou desigualdades, por exemplo g(x,y) = const ou h(x,y) ≤ k. É necessário encontrar os valores das variáveis ​​​​x e y nas quais a função f(x,y) assume um valor extremo (máximo ou mínimo), desde que todas as restrições especificadas sejam atendidas.

Para resolver o problema, costuma-se utilizar o método do multiplicador de Lagrange ou o método da substituição, sendo também necessário realizar pesquisas no extremo dentro da área especificada pelas restrições e em seu limite. A resolução do problema pode exigir encontrar derivadas parciais, resolver sistemas de equações e desigualdades, bem como aplicar o teorema da presença de um extremo condicional.

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Problema 19.2.12 da coleção de Kepe O.?. refere-se ao tópico da teoria da probabilidade e soa assim:

"Vasya joga um jogo em um cassino no qual ganha com probabilidade de 0,4 e perde com probabilidade de 0,6. Se ele ganhar, ele continua a jogar. Se ele perder, ele termina o jogo. Os ganhos no jogo são de 1 rublo por cada rodada vencedora. Determine a expectativa matemática e a variação dos ganhos de Vasya neste jogo."

Para resolver este problema, é necessário aplicar as fórmulas matemáticas de expectativa e dispersão.

A expectativa matemática (valor médio) de ganhos pode ser encontrada usando a fórmula:

E(X) = Σ(xi * P(xi))

onde xi são os valores da variável aleatória (vitória) e P(xi) é a probabilidade desse valor.

Neste problema são possíveis os seguintes valores de ganho: 0, 1, 2, 3, ... (já que o jogo pode durar o tempo que desejar e o número de ganhos não é limitado).

Assim, a expectativa matemática da vitória de Vasya será:

E(X) = 0 * 0,6 + 1 * 0,4 * 0,6 + 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

A variação dos ganhos é determinada pela fórmula:

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

onde E(X^2) é a expectativa matemática do quadrado da variável aleatória.

Para encontrar E(X^2) você precisa calcular:

E (X ^ 2) = 0 ^ 2 * 0,6 + 1 ^ 2 * 0,4 * 0,6 + 2 ^ 2 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + 3 ^ 2 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 + ...

Depois de encontrar E(X) e E(X^2), você pode calcular a variância D(X) usando a fórmula fornecida acima.

Problema 19.2.12 da coleção de problemas O.?. Kepe é formulado da seguinte forma:

Existem dois discos homogêneos com as mesmas massas e raios. Precisamos de determinar a aceleração de um terceiro corpo cuja massa é igual às massas dos outros dois discos. Sabe-se que a resposta do problema é 4,36.

Para resolver este problema, é necessário utilizar as leis de Newton, em particular a segunda lei de Newton, que afirma que a força que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. Neste caso, a força que atua sobre o corpo é igual à soma de todas as forças que atuam sobre este corpo.

Para determinar a aceleração do corpo 3 neste problema, é necessário primeiro determinar as forças que atuam em cada um dos corpos. Como todos os corpos são homogêneos e possuem as mesmas massas e raios, podemos assumir que estão nas mesmas condições e que as forças que atuam sobre eles também serão as mesmas. Portanto, podemos escrever a equação:

F = m*a,

onde F é a força que atua sobre o corpo, m é a massa do corpo e é a aceleração do corpo.

Assim, a força que atua em cada um dos três discos será igual a:

F = cara,

onde m é a massa do disco, g é a aceleração da gravidade.

Portanto, a força total que atua no corpo 3 será igual a:

F3 = 2mg,

já que o corpo 3 sofre a ação de uma força igual à soma das forças que atuam nos outros dois corpos.

Substituindo este valor de força na equação da segunda lei de Newton, obtemos:

F3 =m3a3 = 2m*g,

de onde expressamos a aceleração do corpo 3:

a3 = 2*g.

Substituindo o valor da aceleração da gravidade g = 9,81 m/s^2, obtemos a resposta:

a3 = 2*9,81m/s^2 = 19,62m/s^2.

No entanto, o problema exige encontrar a resposta em outras unidades de medida – em cm/s^2. Portanto, convertendo m/s^2 para cm/s^2, obtemos:

a3 = 1962cm/s^2.

Arredondando esse resultado para duas casas decimais, obtemos a resposta:

a3 = 4,36cm/s^2.

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