オプション 20 IDZ 2.1

IDZ – 2.1 No. 1.20。

与えられたベクトル a = α・m + β・n; b = γ m + δ n; |m| = k; |n| =ℓ; (m;n) = φ;探す：

а) ( λ・a + μ・b );( ν・a + τ・b );

b) b への射影 ( ν・a + τ・b )。

в) cos( a + τ・b )。

ダノ: α = 3; β = -5; γ = -2; d = 3; k = 1; ℓ = 6; φ = 3π/2; λ = 4; μ = 5; n = 1; τ = -2。

№ 2.20.

点Aの座標による。指定されたベクトルの B と C は次のようになります。

a) ベクトル a の係数。

b) ベクトル a と b のスカラー積。

c) ベクトル c のベクトル d への射影。

d) α に対する線分 ℓ を分割する点 M の座標:

うまくいけば: A(5;4;4 ); B(-5;2;3);C(4;2;- 5 ); ……。

№ 3.20.

ベクトル a;b;c が基底を形成していることを証明し、この基底でベクトル d の座標を見つけます。

うまくいけば: a(11;1;2 ); b(-3;3;4); c(-4;-2; 7 ); d(-5; 11;-15 )

IDZ – 2.1 No. 1.20。与えられたベクトル $a = \alpha\cdot m + \beta\cdot n$ および $b = \gamma\cdot m + \delta\cdot n$ について、$|m| = k$, $|n| = \ell$ および $(m;n) = \varphi$ の場合、次を見つける必要があります。

а) $(\lambda\cdot a + \mu\cdot b)\cdot(\nu\cdot a + \tau\cdot b)$;

b) ベクトル $\nu\cdot a + \tau\cdot b$ のベクトル $b$ への射影。

в) $\cos(a + \tau\cdot b)$。

$\alpha = 3$、$\beta = -5$、$\gamma = -2$、$\delta = 3$、$k = 1$、$\ell = 6$、$\varphi であることがわかっています。 = \frac{3\pi}{2}$、$\lambda = 4$、$\mu = 5$、$\nu = 1$、$\tau = -2$。

2.20号。点 $A(5;4;4)$、$B(-5;2;3)$、および $C(4;2;-5)$ の座標で指定されたベクトルの場合、次を見つける必要があります。

a) ベクトル $a$ の法。

b) ベクトル $a$ と $b$ のスカラー積。

c) ベクトル $c$ のベクトル $d$ への射影。

d) $\alpha$ 関係でセグメント $\ell$ を分割する点 $M$ の座標。

3.20号。ベクトル $a$、$b$、$c$ が基底を形成していることを証明し、この基底におけるベクトル $d$ の座標を求めます。 $a(11;1;2)$、$b(-3;3;4)$、$c(-4;-2;7)$、$d(-5;11;- 15）。

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オプション 20 IDZ 2.1 は、線形代数の 3 つの問題に対する解決策を含むデジタル製品です。

最初の問題では、ベクトル a と b が与えられ、それらの係数と基底ベクトル m と n によって指定され、値 λ、μ、ν、τ も与えられます。以下を見つける必要があります。 a) ベクトル ( λ・a + μ・b ) と ( ν・a + τ・b ) のスカラー積の値。 b) ベクトル ( ν・a + τ・b ) のベクトル b への射影。 c) ベクトル a とベクトル a + τ・b の間の角度の余弦の値。

2 番目の問題では、3 つの点 A、B、C の座標が与えられ、次のことを求める必要があります。 a) 点 A と B の座標によって与えられるベクトルの大きさ。 b) 点 A と B の座標、および点 A と C の座標によって指定されるベクトルのスカラー積。 ｃ）点ＣおよびＤの座標によって指定されるベクトルの、点ＡおよびＢの座標によって指定されるベクトルへの投影。 d) α に関して線分 AB を分割する点 M の座標。

3 番目の問題では、ベクトル a、b、c が 3 次元空間の基底を形成していることを証明し、この基底におけるベクトル d の座標を見つける必要があります。

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IDZ 2.1 No. 1.20 は、次のベクトルと係数を使用して解決されるいくつかの点を含むタスクです。

与えられたベクトル a = α・m + β・n; b = γ m + δ n; |m| = k; |n| =ℓ; (m;n) = φ;

ここで、α = 3; β = -5; γ = -2; d = 3; k = 1; ℓ = 6; φ = 3π/2;

見つける必要があります:

а) ( λ・a + μ・b );( ν・a + τ・b );

b) b への射影 ( ν・a + τ・b )。

в) cos( a + τ・b )。

問題を解決するには、次の手順を実行する必要があります。

1. 指定された係数とベクトル m および n を使用して、ベクトル a および b を計算します。

2. これらの係数を用いて、λ・a + μ・b および ν・a + τ・b を計算します。

3. スカラー積 ( λ・a + μ・b )・( ν・a + τ・b ) を求めます。

4. ベクトル ν・a + τ・b のベクトル b への射影を求めます。

5. 式 cos( a + τ・b ) = cos a · cos τ · b + sin a · sin τ · b を使用して cos( a + τ · b ) を求めます。

このタスクの解決策は次のようになります。

1. a = 3・m - 5・n; b = -2・m + 3・n;

2. λ・a + μ・b = 4・a + 5・b = (12m - 20n) + (-10m + 15n) = 2m - 5n;

   ν・a + τ・b = 1・a - 2・b = (3m - 5n) - (-4m + 6n) = 7m - 11n;

3. ( λ・a + μ・b );( ν・a + τ・b ) = (2m - 5n)・(7m - 11n) = 14m^2 - 77mn + 55n^2;

4. ベクトル 7m - 11n のベクトル -2m + 3n への射影は、((7m - 11n)・(-2m + 3n))/(-2^2 + 3^2) = (-29m - 13n) に等しくなります。 /13;

5. cos( a + τ・b ) = cos a・cos τ・b + sin a・sin τ・b = ((3m - 5n)・(-2) + (2m - 3n)・1)/(√(9) +25·√(4+9)) = -11/13。

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