容積 V=22.4 l のシリンダーには通常の水素が含まれています。

通常の状態では、容積 V=22.4 リットルのシリンダーに水素が入っています。風船に一定量のヘリウムを加えた後、風船内の圧力は 0.25 MPa まで増加しましたが、温度は同じままでした。風船に導入されるヘリウムの質量を決定する必要があります。

この問題を解決するために、ボイル・マリオットの法則を使用します。これは、一定の温度、一定量のガスでは、圧力と体積の積が一定に保たれるというものです。理想気体の状態方程式も使用します。

pV = nRT、

ここで、p はガスの圧力、V はその体積、n は物質の量、R は普遍気体定数、T は温度です。

気体の状態方程式を次の形式に書き換えてみましょう。

n = pV / RT。

温度は変化していないので、シリンダー内の物質の量は同じままです。風船にヘリウムを加えた後、物質の量は水素とヘリウムの量の合計と等しくなりました。

n = n(H2) + n(He)。

したがって、ボイル・マリオットの法則に基づいて、次の方程式を作成できます。

p(H2)V = (n(H2) + n(He))RT。

ヘリウムの量を表してみます。

n(He) = (p(H2)V - n(H2)RT) / RT。

これで、ヘリウムのモル質量を使用して、風船に導入されたヘリウムの質量を計算できます。

m(He) = M(He) * n(He)、

ここで、M(He) はヘリウムのモル質量です。

答え：

m(He) = M(He) * (p(H2)V - n(H2)RT) / RT。

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うまくいけば：

• シリンダー容積 V=22.4 リットル;
• ヘリウム添加後のシリンダー内の圧力 p=0.25 MPa。
• 気温は同じままだった。
• 通常の状態では、シリンダーには最初は水素が入っていました。

気球に導入されたヘリウムの質量を見つける必要があります。

解決： この問題を解決するために、ボイル・マリオットの法則を使用します。つまり、一定の温度で一定量のガスでは、圧力と体積の積は一定に保たれます。 また、理想気体の状態方程式、pV = nRT も使用します。ここで、p は気体の圧力、V はその体積、n は物質の量、R は普遍気体定数、T は温度です。 気体の状態方程式を n = pV / RT の形式に書き直してみましょう。 温度は変化していないので、シリンダー内の物質の量は同じままです。風船にヘリウムを加えた後、物質の量は水素とヘリウムの量の合計に等しくなります: n = n(H2) + n(He)。 したがって、ボイル・マリオットの法則に基づいて、次の方程式を作成できます: p(H2)V = (n(H2) + n(He))RT。 ヘリウムの量を n(He) = (p(H2)V - n(H2)RT) / RT で表しましょう。 ここで、ヘリウムのモル質量を使用して、気球に導入されるヘリウムの質量を計算できます: m(He) = M(He) * n(He)。ここで、M(He) はヘリウムのモル質量です。

既知の値を代入して方程式を解きましょう。

• シリンダー容積 V=22.4 リットル;
• ヘリウム添加後のシリンダー内の圧力 p=0.25 MPa。
• 温度は同じままでした。これは、T=293 K (通常の条件) を意味します。
• 水素の場合、モル質量 M(H2) = 2 g/mol。
• ヘリウムの場合、モル質量 M(He) = 4 g/mol。
• 普遍気体定数 R = 8.31 J/(mol*K)。

まず、シリンダー内の水素物質の量を求めてみましょう。 n(H2) = p(H2) * V / (R * T) = 101325 Pa * 0.0224 m3 / (8.31 J/(mol * K) * 293 K) = 0.902 mol。

次に、ヘリウム物質の量を求めてみましょう。 n(He) = (p(H2) * V - n(H2) * R * T) / (R * T) = (0.25 MPa * 0.0224 m3 - 0.902 mol * 8.31 J/(mol)K) * 293 K) / (8.31 J/(molK) * 293 K) = 0.025 モル。

最後に、ヘリウムの質量を求めてみましょう。 m(He) = M(He) * n(He) = 4 g/mol * 0.025 mol = 0.1 g。

答え: 風船に導入されるヘリウムの質量は 0.1 g です。

***

体積 V = 22.4 リットルのシリンダーには、通常の条件下、つまり圧力 101.325 Pa、温度 273.15 K の水素が入っていました。シリンダー内に一定量のヘリウムを追加導入した後、シリンダー内の圧力は上昇しました。圧力は 0.25 MPa (25000 Pa に相当) まで増加しましたが、温度は変化しませんでした (273.15 K)。

この問題を解決するために、ボイル・マリオットの法則を使用します。これは、一定の温度では、容器に含まれるガスの量は圧力に反比例するというものです。また、理想気体の状態方程式も必要になります。これにより、気体物質の圧力、体積、温度、量を関連付けることができます。

それでは、気球にヘリウムを導入してみましょう。すると、シリンダー内のガス物質の総量は、水素の量（水素の質量（M とする）をそのモル質量で割ったものに等しい）にヘリウム物質の量を加えたものに等しくなります。ヘリウムの質量 (m) をそのモル質量で割った値:

n = M/(2 g/mol) + m/(4 g/mol)

ここでは、水素のモル質量が 2 g/mol、ヘリウムのモル質量が 4 g/mol であることを考慮しました。

理想気体の状態方程式によれば、圧力 P、体積 V、物質量 n は次のように関係します。

PV = nR*T

ここで、R は 8.31 J/(mol*K) に等しい普遍気体定数、T は気体の絶対温度です。

この式を初期条件に使用すると、次のようになります。

101325 Pa * 22.4 l = M/(2 g/mol) * 8.31 J/(mol*K) * 273.15 K

ここから、M = 2 g/mol * 101325 Pa * 22.4 l / (8.31 J/(mol * K) * 273.15 K) = 2.02 kg が求められます。

これで、ヘリウムを追加した後の圧力の式を書くことができます。

P' = (M/(2 g/mol) + m/(4 g/mol)) * R * T / V

既知の値を代入して m を解くと、次のようになります。

m = 4 g/mol * V * (P' - P)/(R * T) = 4 g/mol * 22.4 l * (25000 Pa - 101325 Pa) / (8.31 J/(mol*K ) * 273.15 K ) = 0.19kg

したがって、気球に導入されるヘリウムの質量は 0.19 kg です。

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