Una bombola con un volume di V=22,4 l contiene normalmente idrogeno

Una bombola con un volume di V=22,4 litri contiene idrogeno in condizioni normali. Dopo aver aggiunto una certa quantità di elio al palloncino, la pressione al suo interno è aumentata a 0,25 MPa, ma la temperatura è rimasta la stessa. È necessario determinare la massa di elio introdotta nel palloncino.

Per risolvere questo problema utilizziamo la legge Boyle-Marriott, la quale afferma che a temperatura costante per una data quantità di gas, il prodotto tra pressione e volume rimane costante. Usiamo anche l'equazione di stato di un gas ideale:

pV = nRT,

dove p è la pressione del gas, V è il suo volume, n è la quantità di sostanza, R è la costante universale dei gas, T è la temperatura.

Riscriviamo l'equazione di stato del gas nella forma:

n = pV/RT.

Poiché la temperatura non è cambiata, la quantità di sostanza nel cilindro rimane la stessa. Dopo aver aggiunto l'elio al palloncino, la quantità di sostanza è diventata uguale alla somma delle quantità di idrogeno ed elio:

n = n(H2) + n(He).

Pertanto, in base alla legge di Boyle-Mariotte, possiamo creare l'equazione:

p(H2)V = (n(H2) + n(He))RT.

Esprimiamo la quantità di elio:

n(He) = (p(H2)V - n(H2)RT) / RT.

Ora possiamo calcolare la massa di elio introdotta nel palloncino utilizzando la massa molare dell'elio:

m(He) = M(He) * n(He),

dove M(He) è la massa molare dell'elio.

Risposta:

m(He) = M(He) * (p(H2)V - n(H2)RT) / RT.

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Fiduciosamente:

• volume cilindro V=22,4 l;
• pressione nella bombola dopo l'aggiunta di elio p=0,25 MPa;
• la temperatura è rimasta la stessa;
• la bombola inizialmente conteneva idrogeno in condizioni normali.

Devi trovare: la massa di elio introdotta nel palloncino.

Soluzione: Per risolvere il problema utilizziamo la legge di Boyle-Marriott: a temperatura costante per una data quantità di gas, il prodotto tra pressione e volume rimane costante. Usiamo anche l'equazione di stato di un gas ideale: pV = nRT, dove p è la pressione del gas, V è il suo volume, n è la quantità di sostanza, R è la costante universale dei gas, T è la temperatura. Riscriviamo l'equazione di stato del gas nella forma: n = pV/RT. Poiché la temperatura non è cambiata, la quantità di sostanza nel cilindro rimane la stessa. Dopo aver aggiunto l'elio al palloncino, la quantità di sostanza è diventata uguale alla somma delle quantità di idrogeno ed elio: n = n(H2) + n(He). Pertanto, in base alla legge Boyle-Marriott, possiamo creare l'equazione: p(H2)V = (n(H2) + n(He))RT. Esprimiamo la quantità di elio: n(He) = (p(H2)V - n(H2)RT) / RT. Ora possiamo calcolare la massa di elio introdotta nel palloncino utilizzando la massa molare dell'elio: m(He) = M(He) * n(He), dove M(He) è la massa molare dell'elio.

Sostituiamo i valori noti e risolviamo l'equazione:

• volume cilindro V=22,4 l;
• pressione nella bombola dopo l'aggiunta di elio p=0,25 MPa;
• la temperatura è rimasta la stessa, ovvero T=293 K (condizioni normali);
• per l'idrogeno, la massa molare M(H2) = 2 g/mol;
• per l'elio, massa molare M(He) = 4 g/mol;
• costante universale dei gas R = 8,31 J/(mol*K).

Innanzitutto, troviamo la quantità di sostanza idrogeno nel cilindro: n(H2) = p(H2) * V / (R * T) = 101325 Pa * 0,0224 m³ / (8,31 J/(mol*K) * 293 K) = 0,902 mol.

Ora troviamo la quantità di sostanza elio: n(He) = (p(H2) * V - n(H2) * R * T) / (R * T) = (0,25 MPa * 0,0224 m³ - 0,902 mol * 8,31 J/(molK) * 293 K) / (8,31 J/(molK) * 293 K) = 0,025 mol.

Infine, troviamo la massa dell'elio: m(He) = M(He) * n(He) = 4 g/mol * 0,025 mol = 0,1 g.

Risposta: la massa di elio introdotta nel palloncino è 0,1 g.

***

Una bombola con un volume di V = 22,4 litri conteneva idrogeno in condizioni normali, cioè ad una pressione di 101,325 Pa e ad una temperatura di 273,15 K. Dopo aver introdotto nel cilindro una certa quantità di elio, la pressione nel cilindro è aumentata a 0,25 MPa, che equivale a 25000 Pa, e la temperatura è rimasta invariata (273,15 K).

Per risolvere il problema utilizzeremo la legge Boyle-Marriott, la quale afferma che, a temperatura costante, la quantità di gas contenuta in un recipiente è inversamente proporzionale alla sua pressione. Avremo bisogno anche dell'equazione di stato di un gas ideale, che ci permette di mettere in relazione la pressione, il volume, la temperatura e la quantità di sostanza gassosa.

Quindi, introduciamo l'elio nel palloncino. Quindi la quantità totale di sostanza gassosa nel cilindro sarà uguale alla quantità di idrogeno, che è uguale alla massa di idrogeno (sia M) divisa per la sua massa molare, più la quantità di sostanza elio, che è uguale a la massa dell'elio (m) divisa per la sua massa molare:

n = M/(2 g/mol) + m/(4 g/mol)

Qui abbiamo preso in considerazione che la massa molare dell'idrogeno è 2 g/mol e quella dell'elio è 4 g/mol.

Secondo l'equazione di stato dei gas ideali, la pressione P, il volume V e la quantità di sostanza n sono correlati come segue:

PV = nR*T

Qui R è la costante universale dei gas pari a 8,31 J/(mol*K) e T è la temperatura assoluta del gas.

Usando questa formula per le condizioni iniziali, otteniamo:

101325 Pa * 22,4 l = M/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 273,15 K

Da qui troviamo M = 2 g/mol * 101325 Pa * 22,4 l / (8,31 J/(mol*K) * 273,15 K) = 2,02 kg

Ora possiamo scrivere la formula per la pressione dopo aver aggiunto l'elio:

P' = (M/(2 g/mol) + m/(4 g/mol)) * R * T / V

Sostituendovi i valori noti e risolvendo per m, otteniamo:

m = 4 g/mol * V * (P' - P)/(R * T) = 4 g/mol * 22,4 l * (25000 Pa - 101325 Pa) / (8,31 J/(mol*K ) * 273,15 K ) = 0,19 kg

Pertanto, la massa di elio introdotta nel palloncino è di 0,19 kg.

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