Soluzione al problema 15.7.4 dalla collezione di Kepe O.E.

Il problema 15.7.4 consiste nel determinare la velocità angolare degli ingranaggi 1 e 2 dopo due giri, se hanno la stessa massa di 2 kg e sono guidati da un momento costante di una coppia di forze M = 1 N • m, e il raggio di rotazione di ciascuna ruota rispetto all'asse di rotazione è 0,2 M. La risposta al problema è 12,5.

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Soluzione al problema 15.7.4 dalla collezione di Kepe O.?. è associato alla determinazione della velocità angolare delle ruote dopo due giri, se sono dati la massa e il raggio di inerzia di ciascuna delle ruote, nonché il momento costante di una coppia di forze che mette in movimento le ruote da uno stato di riposo.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia del movimento rotatorio. Secondo questa legge, la variazione dell'energia cinetica del movimento rotatorio è uguale al lavoro delle forze esterne applicate al sistema. In questo caso, la forza esterna è una coppia di forze che crea una coppia.

Possiamo quindi scrivere l’equazione:

∆E = A,

dove ΔE è la variazione dell'energia cinetica di rotazione delle ruote e A è il lavoro compiuto da una coppia di forze durante due rivoluzioni.

È noto che quando le ruote ruotano, la loro energia cinetica è determinata dalla formula:

E = (Iω²)/2,

dove I è il momento di inerzia della ruota rispetto all'asse di rotazione e ω è la velocità angolare della ruota.

Pertanto per variare l'energia cinetica delle ruote possiamo scrivere:

ΔE = E2 - E1 = (Iω2² - Iω1²)/2,

dove E1 ed E2 sono rispettivamente l'energia cinetica delle ruote all'inizio e alla fine del movimento.

Il lavoro compiuto da una coppia di forze durante due rivoluzioni è pari a:

A = МΔφ = 2πМ,

dove M è il momento costante della coppia di forze e Δφ = 2π è l'angolo di rotazione completo delle ruote per due giri.

Ora puoi sostituire i valori noti nell'equazione ΔE = A:

(Iω2² - Iω1²)/2 = 2πM,

e risolvilo rispetto alla velocità angolare ω2:

ω2 = quadrato(2πМ/I) + ω1,

dove ω1 è la velocità angolare iniziale delle ruote, che è nulla poiché le ruote sono ferme.

Pertanto, per trovare la velocità angolare delle ruote dopo due giri, è necessario sostituire i valori noti nella formula e risolverla:

ω2 = sqrt(2π * 1 N•m / (2 * 0,2 m² * 2 kg)) = 12,5 rad/s.

Risposta: 12,5 rad/s.

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