Solution au problème 15.7.4 de la collection Kepe O.E.

Le problème 15.7.4 consiste à déterminer la vitesse angulaire des engrenages 1 et 2 après deux tours, s'ils ont la même masse de 2 kg et sont entraînés par un moment constant d'une paire de forces M = 1 N • m, et le rayon de giration de chaque roue par rapport à l'axe de rotation est de 0,2 m. La réponse au problème est 12,5.

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Solution au problème 15.7.4 de la collection de Kepe O.?. est associé à la détermination de la vitesse angulaire des roues après deux tours, si la masse et le rayon d'inertie de chacune des roues sont donnés, ainsi que le moment constant d'une paire de forces qui met les roues en mouvement à partir d'un état de repos.

Pour résoudre le problème, il est nécessaire d'utiliser la loi de conservation de l'énergie du mouvement de rotation. Selon cette loi, la modification de l'énergie cinétique du mouvement de rotation est égale au travail des forces externes appliquées au système. Dans ce cas, la force externe est une paire de forces qui crée un couple.

Ainsi, on peut écrire l'équation :

ΔE = A,

où ΔE est la variation de l'énergie cinétique de rotation des roues, et A est le travail effectué par une paire de forces pendant deux tours.

On sait que lorsque les roues tournent, leur énergie cinétique est déterminée par la formule :

E = (Iω²)/2,

où I est le moment d'inertie de la roue par rapport à l'axe de rotation, et ω est la vitesse angulaire de la roue.

Ainsi, pour modifier l’énergie cinétique des roues on peut écrire :

ΔE = E2 - E1 = (Iω2² - Iω1²)/2,

où E1 et E2 sont respectivement l'énergie cinétique des roues au début et à la fin du mouvement.

Le travail effectué par un couple de forces pendant deux tours est égal à :

A = МΔφ = 2πМ,

où M est le moment constant de la paire de forces et Δφ = 2π est l'angle de rotation complet des roues pour deux tours.

Nous pouvons maintenant substituer les valeurs connues dans l'équation ΔE = A :

(Iω2² - Iω1²)/2 = 2πM,

et résolvez-le par rapport à la vitesse angulaire ω2 :

ω2 = carré(2πМ/I) + ω1,

où ω1 est la vitesse angulaire initiale des roues, qui est nulle puisque les roues sont au repos.

Ainsi, pour trouver la vitesse angulaire des roues après deux tours, il faut substituer les valeurs connues dans la formule et la résoudre :

ω2 = sqrt(2π * 1 N•m / (2 * 0,2 m² * 2 kg)) = 12,5 rad/s.

Réponse : 12,5 rad/s.

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