Lösung zu Aufgabe 15.7.4 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 15.7.4 besteht darin, die Winkelgeschwindigkeit der Zahnräder 1 und 2 nach zwei Umdrehungen zu bestimmen, wenn sie die gleiche Masse von 2 kg haben und von einem konstanten Moment aus einem Kräftepaar M = 1 N·m und dem Radius angetrieben werden Die Drehung jedes Rads relativ zur Drehachse beträgt 0,2 m. Die Antwort auf das Problem lautet 12,5.

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Lösung zu Aufgabe 15.7.4 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist mit der Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit der Räder nach zwei Umdrehungen verbunden, wenn die Masse und der Trägheitsradius jedes der Räder sowie das konstante Moment eines Kräftepaares angegeben sind, das die Räder aus einem Zustand heraus in Bewegung setzt ausruhen.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, den Energieerhaltungssatz der Rotationsbewegung anzuwenden. Nach diesem Gesetz ist die Änderung der kinetischen Energie der Rotationsbewegung gleich der Arbeit der auf das System ausgeübten äußeren Kräfte. In diesem Fall ist die äußere Kraft ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt.

Somit können wir die Gleichung schreiben:

ΔE = A,

Dabei ist ΔE die Änderung der kinetischen Rotationsenergie der Räder und A die Arbeit, die ein Kräftepaar während zwei Umdrehungen verrichtet.

Es ist bekannt, dass beim Drehen von Rädern ihre kinetische Energie durch die Formel bestimmt wird:

E = (Iω²)/2,

Dabei ist I das Trägheitsmoment des Rades relativ zur Drehachse und ω die Winkelgeschwindigkeit des Rades.

Um die kinetische Energie der Räder zu ändern, können wir daher schreiben:

ΔE = E2 - E1 = (Iω2² - Iω1²)/2,

wobei E1 und E2 die kinetische Energie der Räder am Anfang bzw. Ende der Bewegung sind.

Die von einem Kräftepaar während zweier Umdrehungen geleistete Arbeit ist gleich:

A = МΔφ = 2πМ,

wobei M das konstante Moment des Kräftepaares und Δφ = 2π der volle Drehwinkel der Räder für zwei Umdrehungen ist.

Jetzt können wir die bekannten Werte in die Gleichung ΔE = A einsetzen:

(Iω2² - Iω1²)/2 = 2πM,

und löse es relativ zur Winkelgeschwindigkeit ω2:

ω2 = sqrt(2πМ/I) + ω1,

Dabei ist ω1 die Anfangswinkelgeschwindigkeit der Räder, die Null ist, da die Räder ruhen.

Um also die Winkelgeschwindigkeit der Räder nach zwei Umdrehungen zu ermitteln, müssen Sie die bekannten Werte in die Formel einsetzen und diese lösen:

ω2 = sqrt(2π * 1 N•m / (2 * 0,2 m² * 2 kg)) = 12,5 rad/s.

Antwort: 12,5 rad/s.

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