Solução para o problema 15.7.4 da coleção de Kepe O.E.

O problema 15.7.4 é determinar a velocidade angular das engrenagens 1 e 2 após duas voltas, se elas tiverem a mesma massa de 2 kg e forem acionadas por um momento constante de um par de forças M = 1 N • m, e o raio de giro de cada roda em relação ao eixo de rotação é 0,2 M. A resposta para o problema é 12,5.

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Solução do problema 15.7.4 da coleção de Kepe O.?. está associado à determinação da velocidade angular das rodas após duas voltas, se forem dados a massa e o raio de inércia de cada uma das rodas, bem como o momento constante de um par de forças que põe as rodas em movimento a partir de um estado de descansar.

Para resolver o problema, é necessário utilizar a lei da conservação da energia do movimento rotacional. De acordo com esta lei, a mudança na energia cinética do movimento rotacional é igual ao trabalho das forças externas aplicadas ao sistema. Neste caso, a força externa é um par de forças que cria um torque.

Assim, podemos escrever a equação:

ΔE = UMA,

onde ΔE é a variação da energia cinética de rotação das rodas e A é o trabalho realizado por um par de forças durante duas revoluções.

Sabe-se que quando as rodas giram, sua energia cinética é determinada pela fórmula:

E = (Iω²)/2,

onde I é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular da roda.

Portanto, para alterar a energia cinética das rodas podemos escrever:

ΔE = E2 - E1 = (Iω2² - Iω1²)/2,

onde E1 e E2 são a energia cinética das rodas no início e no final do movimento, respectivamente.

O trabalho realizado por um par de forças durante duas revoluções é igual a:

A = МΔφ = 2πМ,

onde M é o momento constante do par de forças e Δφ = 2π é o ângulo total de rotação das rodas para duas revoluções.

Agora podemos substituir os valores conhecidos na equação ΔE = A:

(Iω2² - Iω1²)/2 = 2πM,

e resolva-o em relação à velocidade angular ω2:

ω2 = sqrt(2πМ/I) + ω1,

onde ω1 é a velocidade angular inicial das rodas, que é zero, pois as rodas estão em repouso.

Assim, para encontrar a velocidade angular das rodas após duas voltas, é necessário substituir os valores conhecidos na fórmula e resolvê-la:

ω2 = sqrt(2π * 1 N•m / (2 * 0,2 m² * 2 kg)) = 12,5 rad/s.

Resposta: 12,5 rad/s.

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