IDZ Ryabushko 4.2 Opzione 10

N. 1. È necessario costruire le superfici e determinarne la tipologia per le equazioni: a) 5z2 + 2y2 = 10x; b) 4x2 – 3y2 – 5z2 + 60 = 0.

a) L'equazione 5z2 + 2y2 = 10x definisce un cilindro parabolico con asse verticale. L'asse del cilindro è l'asse x, mentre i vertici delle parabole appartengono al piano yz.

b) L'equazione 4x2 – 3y2 – 5z2 + 60 = 0 definisce un paraboloide ellittico. L'asse di un paraboloide è l'asse x, e le direzioni della parabola sono gli assi y e z.

N. 2. È necessario scrivere l'equazione e determinare il tipo di superficie ottenuta ruotando questa linea attorno all'asse delle coordinate specificato e disegnare un'immagine per: a) y2 – 5x2 = 5; Ehi; b) y = 3; z = 1; Bue.

a) L'equazione y2 – 5x2 = 5 definisce un'iperbole con centro nell'origine e assi paralleli agli assi delle coordinate. Ruotandolo attorno all'asse Oy si ottiene un paraboloide iperbolico.

b) L'equazione y = 3 definisce un piano parallelo agli assi Oxz. Ruotandolo attorno all'asse del Bue si ottiene un cilindro.

L'equazione z = 1 definisce un piano parallelo agli assi Ox e Oy. Ruotando attorno all'asse del Bue si ottiene un cono.

Numero 3. È necessario costruire un corpo limitato dalle superfici indicate: a) y = 4x; y = 0; x = 1; ...; z = 0.

Vediamo le superfici una per una:

• y = 4x specifica un piano che passa per l'origine e forma un angolo di 45 gradi con il piano xy.
• y = 0 specifica un piano parallelo al piano xy e passante per l'asse z.
• x = 1 specifica un piano perpendicolare al piano xy e passante per il punto (1, 0, 0).
• z = 0 specifica un piano parallelo al piano xy e passante per l'origine.

Pertanto, il corpo è limitato dai piani y = 4x, y = 0, x = 1 e z = 0. Questo corpo è un prisma triangolare con un'altezza pari a 1.

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IDZ Ryabushko 4.2 L'opzione 10 è un compito per costruire superfici, determinarne il tipo, scrivere equazioni di superfici e costruire un corpo delimitato da determinate superfici.

Il compito n. 1 richiede la costruzione di superfici e la determinazione della loro forma per le equazioni 5z2 + 2y2 = 10x e 4x2 – 3y2 – 5z2 + 60 = 0.

Il compito n. 2 richiede di scrivere un'equazione e determinare il tipo di superficie ottenuta ruotando una determinata linea attorno a un asse di coordinate specificato e realizzando un disegno. Per il compito a) l'equazione della linea y2 – 5x2 = 5 ruota attorno all'asse Oy, e per il compito b) la linea y = 3 ruota attorno all'asse z = 1, perpendicolare all'asse Ox.

Il compito n. 3 richiede la costruzione di un corpo delimitato dalle superfici y = 4x, y = 0, x = 1 e z = 0.

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