Soluzione al problema 20.5.7 dalla collezione di Kepe O.E.

Compito 20.5.7

Fiduciosamente:

Il potenziale cinetico di un sistema meccanico è determinato dall'espressione L = 16x2 + 20x. Valori iniziali: x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

Trovare:

Il valore della coordinata x generalizzata al tempo t = 3 s.

Risposta:

Per trovare la coordinata generalizzata x è necessario risolvere l'equazione di Eulero-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Per questo sistema:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

Sostituendo le espressioni nell'equazione di Eulero-Lagrange, otteniamo:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

$$\frac{dx}{dt}=x$$

Risolvendo l'equazione differenziale otteniamo:

$$x=Cosa^{t}$$

Utilizzando le condizioni iniziali, troviamo la costante C:

$$x|_{t=0}=0=Cosa^{0}$$

$$C=0$$

Pertanto, la coordinata x generalizzata è zero in qualsiasi momento.

Date le condizioni iniziali, il sistema si muove a velocità zero e non ha energia cinetica. Il valore della coordinata generalizzata x non cambia nel tempo ed è sempre uguale a zero.

Soluzione al problema 20.5.7 dalla collezione di Kepe O.?.

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Descrizione del prodotto

La nostra soluzione è un prodotto digitale che può essere acquistato dal nostro negozio di prodotti digitali. Si presenta in formato HTML, con un bel design e una struttura chiara.

Nel risolvere il problema, analizzeremo in dettaglio i metodi di soluzione utilizzati per risolvere questo problema e forniremo un algoritmo dettagliato che ti aiuterà a risolvere questo problema facilmente e rapidamente.

Vantaggi

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Presentiamo alla vostra attenzione un prodotto digitale: una soluzione al problema 20.5.7 dalla collezione di Kepe O.?. Questo problema è legato alla determinazione del valore della coordinata generalizzata x del sistema meccanico al tempo t = 3 s, se all'inizio del movimento x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

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Il primo passo per risolvere il problema è scrivere l'equazione di Lagrange del 2° tipo per un dato sistema meccanico:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Per questo sistema:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

Sostituendo le espressioni nell'equazione di Lagrange, otteniamo:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

Risolvendo l'equazione differenziale otteniamo:

$$x=Cosa^{t}$$

Utilizzando le condizioni iniziali, troviamo la costante C:

$$x|_{t=0}=0=Cosa^{0}$$

$$C=0$$

Pertanto, la coordinata x generalizzata è zero in qualsiasi momento. Date le condizioni iniziali, il sistema si muove a velocità zero e non ha energia cinetica. Il valore della coordinata generalizzata x non cambia nel tempo ed è sempre uguale a zero.

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Problema 20.5.7 dalla collezione di Kepe O.?. è associato alla determinazione del valore della coordinata generalizzata al tempo t=3 secondi per un sistema meccanico con potenziale cinetico L=16x^2+20x, dove x è la coordinata generalizzata. Condizioni iniziali del problema: x|t=0=0, x'|t=0=2 m/s.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare il principio di minima azione, secondo il quale la vera traiettoria del sistema corrisponde all'estremo dell'azione. L'azione per questo sistema può essere scritta come integrale della funzione Lagrange L(x,x',t):

S = ∫L(x, x', t)dt

dove L(x,x',t) = T - V - energia cinetica e potenziale del sistema, rispettivamente.

Per trovare il valore della coordinata generalizzata x al tempo t=3 secondi, è necessario risolvere l'equazione di Eulero-Lagrange per la funzione di Lagrange L(x,x',t):

(d/dt)(∂L/∂x') - ∂L/∂x = 0

Avendo risolto questa equazione, otteniamo un'equazione differenziale del secondo ordine che può essere risolta con metodi numerici. Risolvendo questa equazione, otteniamo il valore della coordinata generalizzata x al tempo t=3 secondi, pari a 8,81.

Quindi, per risolvere il problema 20.5.7 dalla collezione di Kepe O.?. è necessario applicare il principio di minima azione e risolvere l'equazione di Eulero-Lagrange per la funzione di Lagrange L(x,x',t), quindi utilizzare metodi numerici per trovare il valore della coordinata generalizzata x al tempo t=3 secondi.

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