Hydrogène pesant m=40 g, ayant une température T=300 K

Il existe de l'hydrogène d'une masse de m=40 g, qui était à une température de T=300 K. Le gaz s'est dilaté de manière adiabatique, augmentant le volume de n1=3 fois. Ensuite, le gaz a été comprimé de manière isotherme jusqu'au volume, le réduisant de n2=2 fois. Il faut déterminer le travail total A effectué par le gaz et sa température finale T.

Répondre:

Tout d’abord, trouvons la pression initiale du gaz. Pour ce faire, on utilise l'équation d'état d'un gaz parfait :

pV = nRT,

où p est la pression du gaz, V est son volume, n est la quantité de substance gazeuse, R est la constante universelle des gaz, T est la température du gaz.

La quantité de substance dans un gaz peut être trouvée en divisant la masse par la masse molaire :

n = m/M,

où M est la masse molaire du gaz. Pour l'hydrogène M = 2 g/mol.

La pression initiale du gaz est alors :

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa .

Nous retrouverons ensuite le travail effectué par le gaz lors de la détente adiabatique. Puisque le processus est adiabatique, alors Q = 0, et la première loi de la thermodynamique prend la forme :

dU = -pdV,

où dU est la variation de l'énergie interne du gaz, p et V sont respectivement la pression et le volume du gaz.

Le processus étant adiabatique, dU = CV*dT, où Cv est la capacité calorifique du gaz à volume constant.

Alors:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

en intégrant cette expression de la température et du volume initiaux aux valeurs finales, on obtient :

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

où T2 est la température finale du gaz, V2 est son volume après détente adiabatique.

La capacité calorifique d’un gaz à volume constant peut être obtenue à partir de la relation :

Cp - Cv = R,

où Cp est la capacité calorifique du gaz à pression constante. Pour un gaz parfait Cp = Cv + R.

Alors:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Après détente adiabatique, le volume de gaz est devenu n1 = 3 fois supérieur au volume initial, puis le volume final :

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Ensuite, en remplaçant toutes les valeurs connues dans la formule pour ln(T2/T1), nous trouvons la température finale du gaz :

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К.

Nous trouverons ensuite le travail effectué par un gaz sous compression isotherme. Puisque le processus est isotherme, alors T = const, et la première loi de la thermodynamique prend la forme :

dU = -pdV + Q = -pdV,

où Q est la chaleur reçue ou dégagée par le gaz.

En intégrant cette expression du volume final au volume initial, on obtient :

W = -∫p2^1 VdV,

où p2 est la pression finale du gaz après compression.

En utilisant l’équation d’état d’un gaz parfait et la condition du processus isotherme, nous trouvons la pression finale du gaz :

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

où n2 est la quantité finale de substance gazeuse après compression.

Puis le travail du gaz sous compression isotherme :

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

où nous avons utilisé la relation entre V et n pour un gaz parfait dans un processus isotherme : nV = const.

Le travail total effectué par le gaz est alors :

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

où W1 est le travail effectué par le gaz lors de la détente adiabatique, W2 est le travail effectué par le gaz lors de la compression isotherme.

En remplaçant les valeurs connues, on obtient :

A = -4,99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^2/3 - 1] = 5,02 * 10^4 J.

Et bien sûr, la température finale du gaz après avoir subi les deux processus est T2 = 219,6 K.

Ainsi, nous avons trouvé le travail total effectué par le gaz et sa température finale après détente adiabatique et compression isotherme.

Description du produit:

Le magasin de produits numériques présente un produit numérique - du matériel de calcul pour un problème sur le thème de la thermodynamique.

Ce matériau examine le processus d'expansion adiabatique et de compression isotherme de l'hydrogène d'une masse de m = 40 g, qui avait une température initiale de T = 300 K.

Le matériel de calcul contient une description détaillée des conditions du problème, des formules et des lois utilisées, de la dérivation de la formule de calcul et des réponses aux questions posées dans le problème.

Description du produit: Le magasin de produits numériques propose du matériel de calcul pour un problème sur le thème de la thermodynamique. Ce matériel examine le processus de dilatation adiabatique et de compression isotherme de l'hydrogène d'une masse de m = 40 g, qui avait une température initiale de T = 300 K. Le matériel de calcul contient une description détaillée des conditions du problème, des formules et lois utilisées, la dérivation de la formule de calcul et les réponses aux questions posées dans le problème.

Tâche: L'hydrogène d'une masse de m = 40 g, qui avait une température de T = 300 K, s'est dilaté de manière adiabatique, augmentant son volume de n1 = 3 fois. Ensuite, lors de la compression isotherme, le volume de gaz a diminué de n2=2 fois. Déterminer le travail total A effectué par le gaz et la température finale T du gaz. Problème 20046.

Solution: Tout d’abord, trouvons la pression initiale du gaz. Pour ce faire, on utilise l'équation d'état d'un gaz parfait :

pV = nRT,

où p est la pression du gaz, V est son volume, n est la quantité de substance gazeuse, R est la constante universelle des gaz, T est la température du gaz.

La quantité de substance dans un gaz peut être trouvée en divisant la masse par la masse molaire :

n = m/M,

où M est la masse molaire du gaz. Pour l'hydrogène M = 2 g/mol.

La pression initiale du gaz est alors :

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa .

Nous retrouverons ensuite le travail effectué par le gaz lors de la détente adiabatique. Puisque le processus est adiabatique, alors Q = 0, et la première loi de la thermodynamique prend la forme :

dU = -pdV,

où dU est la variation de l'énergie interne du gaz, p et V sont respectivement la pression et le volume du gaz.

Le processus étant adiabatique, dU = Cv*dT, où Cv est la capacité calorifique du gaz à volume constant.

Alors:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

en intégrant cette expression de la température et du volume initiaux aux valeurs finales, on obtient :

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

où T2 est la température finale du gaz, V2 est son volume après détente adiabatique.

La capacité calorifique d’un gaz à volume constant peut être obtenue à partir de la relation :

Cp - Cv = R,

où Cp est la capacité calorifique du gaz à pression constante. Pour un gaz parfait Cp = Cv + R.

Alors:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Après détente adiabatique, le volume de gaz est devenu n1 = 3 fois supérieur au volume initial, puis le volume final :

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Ensuite, en remplaçant toutes les valeurs connues dans la formule pour ln(T2/T1), nous trouvons la température finale du gaz :

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2 303 * (7/2) = -8 058,

T2/T1 = e^(-8 058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0,000329 = 300 K * 0,000329 = 0,0987 K.

Trouvons maintenant le travail effectué par un gaz sous compression isotherme. Puisque le processus est isotherme, alors T = const, et la première loi de la thermodynamique prend la forme :

dU = Q - pdV,

où Q est la chaleur transférée au gaz, dU est la variation de l'énergie interne du gaz.

Puisque le processus est isotherme, T = const, donc Q = W, c'est-à-dire que le travail effectué par le gaz est égal à la chaleur transférée au gaz.

Alors:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

où V1 et V2 sont respectivement les volumes de gaz initial et final.

Après expansion adiabatique, le volume de gaz est devenu n1 = 3 fois supérieur au volume initial, puis, lors de la compression isotherme, le volume de gaz a diminué de n2 = 2 fois. Le volume final de gaz est alors :

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2.

Ensuite le gaz fonctionne :

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986,54 J.

Réponses aux questions posées dans le problème :

Le travail total effectué par un gaz lors de la dilatation adiabatique et de la compression isotherme est W = -4986,54 J.

La température finale du gaz après détente adiabatique et compression isotherme est T2 = 0,0987 K.

***

Description du produit:

Ce produit est un échantillon d'hydrogène pesant m=40 g, qui avait une température T=300 K. Ensuite, le gaz a été détendu de manière adiabatique, augmentant le volume de n1=3 fois. Ensuite, une compression isotherme du gaz s'est produite, à la suite de laquelle le volume a diminué de n2 = 2 fois.

Pour déterminer le travail total A effectué par le gaz et la température finale T du gaz, vous pouvez utiliser l'équation de Mayer :

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

où C_v et C_p sont respectivement les capacités thermiques spécifiques à volume et pression constantes, T_1 et T_2 sont les températures initiale et finale du gaz.

Pour l'hydrogène, les capacités thermiques spécifiques peuvent être calculées à l'aide des formules :

C_v = (3/2) *R C_p = (5/2) *R

où R est la constante universelle des gaz.

Ainsi, le travail total A sera égal à :

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

Pour déterminer la température finale du gaz T, la relation suivante peut être utilisée :

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

où n1 et n2 sont les coefficients de variation du volume de gaz lors de la dilatation adiabatique et de la compression isotherme, respectivement.

En remplaçant les données de l'énoncé du problème, nous obtenons :

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

Ainsi, le travail total effectué par le gaz est de -600 R J et la température finale du gaz est de 150 K.

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