무게가 m = 40 g이고 온도가 T = 300 K인 수소

질량이 m=40g이고 온도가 T=300K인 수소가 있습니다. 가스는 단열 팽창하여 부피가 n1=3배 증가합니다. 그런 다음 가스를 등온적으로 압축하여 부피를 n2=2배로 줄였습니다. 가스가 수행한 총 일 A와 최종 온도 T를 결정해야 합니다.

답변:

먼저 초기 가스압력을 구해보자. 이를 위해 이상 기체의 상태 방정식을 사용합니다.

pV = nRT,

여기서 p는 가스 압력, V는 부피, n은 가스 물질의 양, R은 범용 가스 상수, T는 가스 온도입니다.

가스에 포함된 물질의 양은 질량을 몰 질량으로 나누어 구할 수 있습니다.

n = m/M,

여기서 M은 가스의 몰 질량입니다. 수소의 경우 M = 2g/mol.

그러면 초기 가스 압력은 다음과 같습니다.

p1 = (m/M)RT/V = (40g)/(2g/mol) * 8.31J/(mol*K) * 300K / (1l) = 4.99 * 10^5Pa .

다음으로, 단열팽창 동안 기체가 한 일을 알아 보겠습니다. 과정이 단열적이므로 Q = 0이고 열역학 제1법칙은 다음과 같은 형식을 취합니다.

dU = -pdV,

여기서 dU는 기체의 내부 에너지 변화이고, p와 V는 각각 기체의 압력과 부피입니다.

이 과정은 단열이므로 dU = 이력서*dT입니다. 여기서 Cv는 일정한 부피에서 가스의 열용량입니다.

그 다음에:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

이 식을 초기 온도와 부피에서 최종 값으로 통합하면 다음을 얻습니다.

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

여기서 T2는 가스의 최종 온도이고, V2는 단열 팽창 후의 부피입니다.

일정한 부피에서 기체의 열용량은 다음 관계식으로 구할 수 있습니다.

Cp - Cv = R,

여기서 Cp는 일정한 압력에서 기체의 열용량입니다. 이상기체의 경우 Cp = Cv + R.

그 다음에:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

단열 팽창 후 가스 부피는 초기 부피보다 n1 = 3배 더 커졌고 최종 부피는 다음과 같습니다.

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

그런 다음 알려진 모든 값을 ln(T2/T1) 공식에 대입하여 최종 가스 온도를 찾습니다.

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К.

다음으로, 등온 압축 하에서 기체가 한 일을 알아 보겠습니다. 과정이 등온이므로 T = const이고 열역학 제1법칙은 다음과 같은 형식을 취합니다.

dU = -pdV + Q = -pdV,

여기서 Q는 기체가 받아들이거나 발산하는 열입니다.

이 표현식을 최종 볼륨에서 초기 볼륨으로 통합하면 다음을 얻습니다.

W = -∫p2^1V dV,

여기서 p2는 압축 후 최종 가스 압력입니다.

이상 기체의 상태 방정식과 등온 과정의 조건을 사용하여 최종 기체 압력을 찾습니다.

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

여기서 n2는 압축 후 가스 물질의 최종 양입니다.

그런 다음 등온 압축 하에서 가스의 작업은 다음과 같습니다.

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

여기서 우리는 등온 과정에서 이상 기체에 대해 V와 n 사이의 관계를 사용했습니다: nV = const.

그러면 가스가 한 총 일은 다음과 같습니다.

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

여기서 W1은 단열 팽창 동안 기체가 한 일이고, W2는 등온 압축 동안 기체가 한 일입니다.

알려진 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

A = -4.99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^2/3 - 1] = 5.02 * 10^4 J.

그리고 물론 두 과정을 모두 거친 후의 최종 가스온도는 T2 = 219.6K이다.

따라서 우리는 단열 팽창과 등온 압축 후에 가스가 수행한 전체 일과 최종 온도를 알아냈습니다.

제품 설명:

디지털 상품 매장에서는 열역학 주제에 관한 문제에 대한 계산 자료인 디지털 제품을 제공합니다.

이 자료는 초기 온도 T = 300 K인 질량 m = 40 g의 수소의 단열 팽창 및 등온 압축 과정을 조사합니다.

계산 자료에는 문제의 조건, 사용된 공식 및 법칙, 계산 공식의 도출 및 문제에 제기된 질문에 대한 답변에 대한 자세한 설명이 포함되어 있습니다.

제품 설명: 디지털 상품 매장에서는 열역학 주제에 관한 문제에 대한 계산 자료를 제공합니다. 이 자료는 T = 300 K의 초기 온도를 갖는 질량 m = 40 g의 수소의 단열 팽창 및 등온 압축 과정을 조사합니다. 계산 자료에는 문제의 조건에 대한 자세한 설명, 공식 및 사용된 법칙, 계산 공식의 도출 및 문제에 제기된 질문에 대한 답변.

일: 질량이 m = 40 g이고 온도가 T = 300 K인 수소는 단열 팽창하여 부피가 n1 = 3배 증가했습니다. 그런 다음 등온 압축 중에 가스 부피가 n2=2배 감소했습니다. 기체가 수행한 총 일 A와 기체의 최종 온도 T를 구하십시오. 문제 20046.

해결책: 먼저 초기 가스압력을 구해보자. 이를 위해 이상 기체의 상태 방정식을 사용합니다.

pV = nRT,

여기서 p는 가스 압력, V는 부피, n은 가스 물질의 양, R은 범용 가스 상수, T는 가스 온도입니다.

가스에 포함된 물질의 양은 질량을 몰 질량으로 나누어 구할 수 있습니다.

n = m/M,

여기서 M은 가스의 몰 질량입니다. 수소의 경우 M = 2g/mol.

그러면 초기 가스 압력은 다음과 같습니다.

p1 = (m/M)RT/V = (40g)/(2g/mol) * 8.31J/(mol*K) * 300K / (1l) = 4.99 * 10^5Pa .

다음으로, 단열팽창 동안 기체가 한 일을 알아 보겠습니다. 과정이 단열적이므로 Q = 0이고 열역학 제1법칙은 다음과 같은 형식을 취합니다.

dU = -pdV,

여기서 dU는 기체의 내부 에너지 변화이고, p와 V는 각각 기체의 압력과 부피입니다.

이 과정은 단열이므로 dU = Cv*dT입니다. 여기서 Cv는 일정한 부피에서 가스의 열용량입니다.

그 다음에:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

이 식을 초기 온도와 부피에서 최종 값으로 통합하면 다음을 얻습니다.

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

여기서 T2는 가스의 최종 온도이고, V2는 단열 팽창 후의 부피입니다.

일정한 부피에서 기체의 열용량은 다음 관계식으로 구할 수 있습니다.

Cp - Cv = R,

여기서 Cp는 일정한 압력에서 기체의 열용량입니다. 이상기체의 경우 Cp = Cv + R.

그 다음에:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

단열 팽창 후 가스 부피는 초기 부피보다 n1 = 3배 더 커졌고 최종 부피는 다음과 같습니다.

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

그런 다음 알려진 모든 값을 ln(T2/T1) 공식에 대입하여 최종 가스 온도를 찾습니다.

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2,303 * (7/2) = -8,058,

T2/T1 = e^(-8,058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0.000329 = 300K * 0.000329 = 0.0987K.

이제 등온 압축 하에서 기체가 한 일을 찾아봅시다. 과정이 등온이므로 T = const이고 열역학 제1법칙은 다음과 같은 형식을 취합니다.

dU = Q - pdV,

여기서 Q는 기체로 전달된 열이고, dU는 기체의 내부 에너지 변화입니다.

이 과정은 등온이므로 T = const이므로 Q = W입니다. 즉, 기체가 한 일은 기체로 전달된 열과 같습니다.

그 다음에:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

여기서 V1과 V2는 각각 가스의 초기 부피와 최종 부피입니다.

단열 팽창 후 기체 부피는 초기보다 n1 = 3배 증가하였고, 등온 압축 동안 기체 부피는 n2 = 2배 감소하였다. 그러면 최종 가스 부피는 다음과 같습니다.

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2.

그런 다음 가스 작업:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40g)/(2g/mol) * 8.31J/(mol*K) * 300K * ln( 2) = -4986.54J

문제에 제기된 질문에 대한 답변:

단열 팽창과 등온 압축 동안 기체가 행한 총 일은 W = -4986.54 J입니다.

단열 팽창 및 등온 압축 후 최종 가스 온도는 T2 = 0.0987 K입니다.

***

제품 설명:

이 생성물은 무게가 m=40g이고 온도가 T=300K인 수소 샘플입니다. 다음으로 가스를 단열 팽창시켜 n1=3배로 부피를 늘렸습니다. 그런 다음 가스의 등온 압축이 발생하여 부피가 n2=2배 감소했습니다.

가스에 의해 수행된 총 일 A와 가스의 최종 온도 T를 결정하려면 Mayer 방정식을 사용할 수 있습니다.

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

여기서 C_v와 C_p는 각각 일정한 부피와 일정한 압력에서의 비열 용량이고, T_1과 T_2는 초기 및 최종 가스 온도입니다.

수소의 경우 비열 용량은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) * R

여기서 R은 보편적인 기체 상수입니다.

따라서 총 작업 A는 다음과 같습니다.

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

최종 가스 온도 T를 결정하기 위해 다음 관계식을 사용할 수 있습니다.

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

여기서 n1과 n2는 각각 단열 팽창과 등온 압축 동안의 기체 부피 변화 계수입니다.

문제 설명의 데이터를 대체하면 다음을 얻습니다.

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

따라서 기체가 행한 총 일은 -600RJ이고 기체의 최종 온도는 150K입니다.

***

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