Hidrógeno que pesa m=40 g y tiene una temperatura T=300 K.

Hay hidrógeno con una masa de m=40 g, que estaba a una temperatura de T=300 K. El gas se expandió adiabáticamente, aumentando el volumen en n1=3 veces. Luego el gas se comprimió isotérmicamente hasta alcanzar el volumen, reduciéndolo en n2=2 veces. Es necesario determinar el trabajo total A realizado por el gas y su temperatura final T.

Respuesta:

Primero, encontremos la presión inicial del gas. Para ello utilizamos la ecuación de estado de un gas ideal:

pV = nRT,

donde p es la presión del gas, V es su volumen, n es la cantidad de sustancia gaseosa, R es la constante universal de los gases, T es la temperatura del gas.

La cantidad de sustancia en un gas se puede encontrar dividiendo la masa por la masa molar:

norte = m/M,

donde M es la masa molar del gas. Para hidrógeno M = 2 g/mol.

Entonces la presión inicial del gas es:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa.

A continuación encontraremos el trabajo realizado por el gas durante la expansión adiabática. Como el proceso es adiabático, entonces Q = 0 y la primera ley de la termodinámica toma la forma:

dU = -pdV,

donde dU es el cambio en la energía interna del gas, p y V son la presión y el volumen del gas, respectivamente.

Como el proceso es adiabático, dU = CV*dT, donde Cv es la capacidad calorífica del gas a volumen constante.

Entonces:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

integrando esta expresión desde la temperatura y el volumen iniciales a los valores finales, obtenemos:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

donde T2 es la temperatura final del gas, V2 es su volumen después de la expansión adiabática.

La capacidad calorífica de un gas a volumen constante se puede encontrar a partir de la relación:

Cp - Cv = R,

donde Cp es la capacidad calorífica del gas a presión constante. Para un gas ideal Cp = Cv + R.

Entonces:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Después de la expansión adiabática, el volumen del gas se volvió n1 = 3 veces mayor que el volumen inicial, luego el volumen final:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Luego, sustituyendo todos los valores conocidos en la fórmula de ln(T2/T1), encontramos la temperatura final del gas:

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К.

A continuación encontraremos el trabajo realizado por un gas sometido a compresión isotérmica. Como el proceso es isotérmico, entonces T = constante y la primera ley de la termodinámica toma la forma:

dU = -pdV + Q = -pdV,

donde Q es el calor recibido o desprendido por el gas.

Integrando esta expresión del volumen final al volumen inicial obtenemos:

W = -∫p2^1 VdV,

donde p2 es la presión final del gas después de la compresión.

Usando la ecuación de estado de un gas ideal y la condición del proceso isotérmico, encontramos la presión final del gas:

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

donde n2 es la cantidad final de sustancia gaseosa después de la compresión.

Entonces el trabajo del gas bajo compresión isotérmica:

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

donde utilizamos la relación entre V y n para un gas ideal en un proceso isotérmico: nV = const.

Entonces el trabajo total realizado por el gas es:

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

donde W1 es el trabajo realizado por el gas durante la expansión adiabática, W2 es el trabajo realizado por el gas durante la compresión isotérmica.

Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:

A = -4,99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^2/3 - 1] = 5,02 * 10^4 J.

Y por supuesto, la temperatura final del gas después de pasar por ambos procesos es T2 = 219,6 K.

Así, hemos encontrado el trabajo total realizado por el gas y su temperatura final después de la expansión adiabática y la compresión isotérmica.

Descripción del Producto:

La tienda de artículos digitales presenta un producto digital: material de cálculo para un problema sobre termodinámica.

Este material examina el proceso de expansión adiabática y compresión isotérmica de hidrógeno con una masa de m = 40 g, que tenía una temperatura inicial de T = 300 K.

El material de cálculo contiene una descripción detallada de las condiciones del problema, las fórmulas y leyes utilizadas, la derivación de la fórmula de cálculo y respuestas a las preguntas planteadas en el problema.

Descripción del Producto: La tienda de artículos digitales ofrece material de cálculo para un problema sobre termodinámica. Este material examina el proceso de expansión adiabática y compresión isotérmica del hidrógeno con una masa de m = 40 g, que tenía una temperatura inicial de T = 300 K. El material de cálculo contiene una descripción detallada de las condiciones del problema, las fórmulas y leyes utilizadas, la derivación de la fórmula de cálculo y las respuestas a las preguntas planteadas en el problema.

Tarea: El hidrógeno con una masa de m = 40 g, que tenía una temperatura de T = 300 K, se expandió adiabáticamente, aumentando su volumen en n1 = 3 veces. Luego, durante la compresión isotérmica, el volumen de gas disminuyó n2=2 veces. Determine el trabajo total A realizado por el gas y la temperatura final T del gas. Problema 20046.

Solución: Primero, encontremos la presión inicial del gas. Para ello utilizamos la ecuación de estado de un gas ideal:

pV = nRT,

donde p es la presión del gas, V es su volumen, n es la cantidad de sustancia gaseosa, R es la constante universal de los gases, T es la temperatura del gas.

La cantidad de sustancia en un gas se puede encontrar dividiendo la masa por la masa molar:

norte = m/M,

donde M es la masa molar del gas. Para hidrógeno M = 2 g/mol.

Entonces la presión inicial del gas es:

p1 = (m/M)RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K / (1 l) = 4,99 * 10^5 Pa.

A continuación encontraremos el trabajo realizado por el gas durante la expansión adiabática. Como el proceso es adiabático, entonces Q = 0 y la primera ley de la termodinámica toma la forma:

dU = -pdV,

donde dU es el cambio en la energía interna del gas, p y V son la presión y el volumen del gas, respectivamente.

Como el proceso es adiabático, dU = Cv*dT, donde Cv es la capacidad calorífica del gas a volumen constante.

Entonces:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

integrando esta expresión desde la temperatura y el volumen iniciales a los valores finales, obtenemos:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

donde T2 es la temperatura final del gas, V2 es su volumen después de la expansión adiabática.

La capacidad calorífica de un gas a volumen constante se puede encontrar a partir de la relación:

Cp - Cv = R,

donde Cp es la capacidad calorífica del gas a presión constante. Para un gas ideal Cp = Cv + R.

Entonces:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Después de la expansión adiabática, el volumen del gas se volvió n1 = 3 veces mayor que el volumen inicial, luego el volumen final:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Luego, sustituyendo todos los valores conocidos en la fórmula de ln(T2/T1), encontramos la temperatura final del gas:

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2,303 * (7/2) = -8,058,

T2/T1 = e^(-8,058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0,000329 = 300K * 0,000329 = 0,0987K.

Ahora encontremos el trabajo realizado por un gas bajo compresión isotérmica. Como el proceso es isotérmico, entonces T = constante y la primera ley de la termodinámica toma la forma:

dU = Q - pdV,

donde Q es el calor transferido al gas, dU es el cambio en la energía interna del gas.

Como el proceso es isotérmico, T = constante, por lo tanto, Q = W, es decir, el trabajo realizado por el gas es igual al calor transferido al gas.

Entonces:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

donde V1 y V2 son los volúmenes inicial y final de gas, respectivamente.

Después de la expansión adiabática, el volumen de gas se volvió n1 = 3 veces mayor que el inicial y luego, durante la compresión isotérmica, el volumen de gas disminuyó n2 = 2 veces. Entonces el volumen final de gas es:

V2 = V1 * (1/n2) = V1/2.

Entonces el gas funciona:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986,54J.

Respuestas a las preguntas planteadas en el problema:

El trabajo total realizado por un gas durante la expansión adiabática y la compresión isotérmica es W = -4986,54 J.

La temperatura final del gas después de la expansión adiabática y la compresión isotérmica es T2 = 0,0987 K.

***

Descripción del Producto:

Este producto es una muestra de hidrógeno que pesa m=40 g, que tenía una temperatura T=300 K. A continuación, el gas se expandió adiabáticamente, aumentando el volumen en n1=3 veces. Luego se produjo la compresión isotérmica del gas, como resultado de lo cual el volumen disminuyó n2=2 veces.

Para determinar el trabajo total A realizado por el gas y la temperatura final T del gas, se puede utilizar la ecuación de Mayer:

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

donde C_v y C_p son las capacidades caloríficas específicas a volumen constante y presión constante, respectivamente, T_1 y T_2 son las temperaturas inicial y final del gas.

Para el hidrógeno, las capacidades caloríficas específicas se pueden calcular mediante las fórmulas:

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) * R

donde R es la constante universal de los gases.

Así, el trabajo total A será igual a:

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

Para determinar la temperatura final del gas T, se puede utilizar la siguiente relación:

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

donde n1 y n2 son los coeficientes de cambio en el volumen del gas durante la expansión adiabática y la compresión isotérmica, respectivamente.

Sustituyendo los datos del enunciado del problema, obtenemos:

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

Por tanto, el trabajo total realizado por el gas es -600 R J y la temperatura final del gas es 150 K.

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