Vodík o hmotnosti m=40 g, o teplotě T=300 K

Existuje vodík o hmotnosti m=40 g, který měl teplotu T=300 K. Plyn expandoval adiabaticky a zvětšil objem n1=3krát. Poté byl plyn izotermicky stlačen na objem, čímž došlo k jeho zmenšení n2=2krát. Je nutné určit celkovou práci A vykonanou plynem a jeho konečnou teplotu T.

Odpovědět:

Nejprve zjistíme počáteční tlak plynu. K tomu použijeme stavovou rovnici ideálního plynu:

pV = nRT,

kde p je tlak plynu, V je jeho objem, n je látkové množství plynu, R je univerzální plynová konstanta, T je teplota plynu.

Množství látky v plynu lze zjistit vydělením hmotnosti molární hmotností:

n = m/M,

kde M je molární hmotnost plynu. Pro vodík M = 2 g/mol.

Pak je počáteční tlak plynu:

p1 = (m/M) RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/ (mol * K) * 300 K / (1 1) = 4,99 * 10^5 Pa.

Dále najdeme práci vykonanou plynem při adiabatické expanzi. Protože je proces adiabatický, pak Q = 0 a první termodynamický zákon má tvar:

dU = -pdV,

kde dU je změna vnitřní energie plynu, p a V jsou tlak a objem plynu.

Protože proces je adiabatický, dU = Životopis*dT, kde Cv je tepelná kapacita plynu při konstantním objemu.

Pak:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TPROTI),

integrací tohoto výrazu od počáteční teploty a objemu ke konečným hodnotám získáme:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

kde T2 je konečná teplota plynu, V2 je jeho objem po adiabatické expanzi.

Tepelnou kapacitu plynu při konstantním objemu lze zjistit ze vztahu:

Cp – Cv = R,

kde Cp je tepelná kapacita plynu při konstantním tlaku. Pro ideální plyn Cp = Cv + R.

Pak:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Po adiabatické expanzi se objem plynu stal n1 = 3krát větší než počáteční objem, pak konečný objem:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Poté dosazením všech známých hodnot do vzorce pro ln(T2/T1) najdeme konečnou teplotu plynu:

T2 = T1 * (V1/V2)^((7/2)R) = 300 К * (1/3)^((7/2)*8,31/1000) = 219,6 К.

Dále najdeme práci vykonanou plynem při izotermické kompresi. Protože proces je izotermický, pak T = konst a první termodynamický zákon má tvar:

dU = -pdV + Q = -pdV,

kde Q je teplo přijaté nebo vydané plynem.

Integrací tohoto výrazu z konečného objemu do počátečního objemu získáme:

W = -∫p2^1 V dV,

kde p2 je konečný tlak plynu po stlačení.

Pomocí stavové rovnice ideálního plynu a podmínky izotermického děje zjistíme konečný tlak plynu:

p2 = p1 * (V1/V2) = p1 * (n1/n2),

kde n2 je konečné množství plynné látky po stlačení.

Pak práce plynu při izotermické kompresi:

W = -∫p2^1 V dV = -∫(p1 * (n1/n2))^p1 (n2/n1 * V1)^2/3 d((n2/n1 * V1)^2/3) = - p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

kde jsme použili vztah mezi V an pro ideální plyn v izotermickém procesu: nV = konst.

Celková práce, kterou plyn vykoná, je:

A = W1 + W2 = -p1 * V1 * (n1/n2) * [(n2/n1)^2/3 - 1],

kde W1 je práce vykonaná plynem během adiabatické expanze, W2 je práce vykonaná plynem během izotermické komprese.

Dosazením známých hodnot dostaneme:

A = -4,99 * 10^5 Pa * 1 l * (3/2) * [(2/3)^ 2/3 - 1] = 5,02 * 10^4 J.

A samozřejmě konečná teplota plynu po průchodu oběma procesy je T2 = 219,6 K.

Zjistili jsme tedy celkovou práci plynu a jeho konečnou teplotu po adiabatické expanzi a izotermické kompresi.

Popis výrobku:

Prodejna digitálního zboží představuje digitální produkt - výpočtový materiál k problému na téma termodynamika.

Tento materiál zkoumá proces adiabatické expanze a izotermické komprese vodíku o hmotnosti m = 40 g, který měl počáteční teplotu T = 300 K.

Výpočtový materiál obsahuje podrobný popis podmínek úlohy, použitých vzorců a zákonitostí, odvození výpočtového vzorce a odpovědi na otázky položené v úloze.

Popis výrobku: Prodejna digitálního zboží poskytuje výpočtový materiál k problému na téma termodynamika. Tento materiál zkoumá proces adiabatické expanze a izotermické komprese vodíku o hmotnosti m = 40 g, který měl počáteční teplotu T = 300 K. Výpočtový materiál obsahuje podrobný popis podmínek problému, vzorce a použité zákony, odvození výpočtového vzorce a odpovědi na otázky položené v úloze.

Úkol: Vodík o hmotnosti m = 40 g, který měl teplotu T = 300 K, expandoval adiabaticky a zvětšil svůj objem n1 = 3x. Potom se při izotermické kompresi objem plynu zmenšil n2=2krát. Určete celkovou práci A vykonanou plynem a konečnou teplotu T plynu. Problém 20046.

Řešení: Nejprve zjistíme počáteční tlak plynu. K tomu použijeme stavovou rovnici ideálního plynu:

pV = nRT,

kde p je tlak plynu, V je jeho objem, n je látkové množství plynu, R je univerzální plynová konstanta, T je teplota plynu.

Množství látky v plynu lze zjistit vydělením hmotnosti molární hmotností:

n = m/M,

kde M je molární hmotnost plynu. Pro vodík M = 2 g/mol.

Pak je počáteční tlak plynu:

p1 = (m/M) RT/V = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/ (mol * K) * 300 K / (1 1) = 4,99 * 10^5 Pa.

Dále najdeme práci vykonanou plynem při adiabatické expanzi. Protože je proces adiabatický, pak Q = 0 a první termodynamický zákon má tvar:

dU = -pdV,

kde dU je změna vnitřní energie plynu, p a V jsou tlak a objem plynu.

Protože proces je adiabatický, dU = Cv*dT, kde Cv je tepelná kapacita plynu při konstantním objemu.

Pak:

Cv*dT = -pdV,

CvdT/T = -pdV/(TV),

integrací tohoto výrazu od počáteční teploty a objemu ke konečným hodnotám získáme:

ln(T2/T1) = -ln(V2/V1) * (Cv/R),

kde T2 je konečná teplota plynu, V2 je jeho objem po adiabatické expanzi.

Tepelnou kapacitu plynu při konstantním objemu lze zjistit ze vztahu:

Cp – Cv = R,

kde Cp je tepelná kapacita plynu při konstantním tlaku. Pro ideální plyn Cp = Cv + R.

Pak:

Cv = Cp - R = 7/2 R.

Po adiabatické expanzi se objem plynu stal n1 = 3krát větší než počáteční objem, pak konečný objem:

V2 = n1 * V1 = 3 * V1.

Poté dosazením všech známých hodnot do vzorce pro ln(T2/T1) najdeme konečnou teplotu plynu:

ln(T2/T1) = -ln(3) * (7/2) = -2 303 * (7/2) = -8 058,

T2/T1 = e^(-8,058) = 0,000329,

T2 = T1 * 0,000329 = 300 K * 0,000329 = 0,0987 K.

Nyní zjistíme, jakou práci vykonal plyn při izotermické kompresi. Protože proces je izotermický, pak T = konst a první termodynamický zákon má tvar:

dU = Q - pdV,

kde Q je teplo předané plynu, dU je změna vnitřní energie plynu.

Protože proces je izotermický, T = konst, tedy Q = W, to znamená, že práce plynu se rovná teplu přenesenému do plynu.

Pak:

W = Q = nRT * ln(V1/V2),

kde V1 a V2 jsou počáteční a konečné objemy plynu.

Po adiabatické expanzi se objem plynu zvýšil na n1 = 3krát větší než počáteční, a poté se při izotermické kompresi objem plynu snížil o n2 = 2krát. Potom je konečný objem plynu:

V2 = V1* (1/n2) = V1/2.

Pak funguje plyn:

W = nRT * ln(V1/(V1/2)) = nRT * ln(2) = (40 g)/(2 g/mol) * 8,31 J/(mol*K) * 300 K * ln( 2) = -4986,54 J.

Odpovědi na otázky položené v problému:

Celková práce vykonaná plynem během adiabatické expanze a izotermické komprese je W = -4986,54 J.

Konečná teplota plynu po adiabatické expanzi a izotermické kompresi je T2 = 0,0987 K.

***

Popis výrobku:

Tento produkt je vzorek vodíku o hmotnosti m=40 g, který měl teplotu T=300 K. Dále byl plyn adiabaticky expandován, přičemž objem se zvětšil n1=3krát. Poté došlo k izotermické kompresi plynu, v důsledku čehož se objem zmenšil n2=2krát.

K určení celkové práce A plynu a konečné teploty T plynu můžete použít Mayerovu rovnici:

A = C_v * (T_2 - T_1) + C_p * (T_2 - T_1)

kde C_v a C_p jsou specifické tepelné kapacity při konstantním objemu a konstantním tlaku, v tomto pořadí, T_1 a T_2 jsou počáteční a konečné teploty plynu.

Pro vodík lze specifické tepelné kapacity vypočítat pomocí vzorců:

C_v = (3/2) * R C_p = (5/2) * R

kde R je univerzální plynová konstanta.

Celková práce A se tedy bude rovnat:

A = (3/2) * R * (T_2 - T_1) + (5/2) * R * (T_2 - T_1)

Pro určení konečné teploty plynu T lze použít následující vztah:

T_2 = T_1 * (n1/n2)^((C_p - C_v)/C_p)

kde n1 a n2 jsou koeficienty změny objemu plynu během adiabatické expanze a izotermické komprese.

Nahrazením dat z výpisu problému získáme:

T_2 = 300 * (3/2)^((5/2 - 3/2)/(5/2)) * (1/2) = 150 K

A = (3/2) * R * (150 - 300) + (5/2) * R * (150 - 300) = -600 R Дж

Celková práce vykonaná plynem je tedy -600 R J a konečná teplota plynu je 150 K.

***

1. Vynikající digitální produkt, který umožňuje snadno zjistit vlastnosti vodíku za určitých podmínek.
2. Informace o vodíku v digitální podobě jsou velmi pohodlné a umožňují rychle získat potřebná data.
3. Není třeba hledat informace o vlastnostech vodíku v knihách nebo jiných zdrojích, protože vše je dostupné v digitální podobě.
4. Tento digitální produkt je ideální pro studenty a profesionály zabývající se vědou a technikou.
5. Velkým plusem digitálního produktu je možnost rychlého vyhledávání informací a pohodlný přístup k nim.
6. V digitálním formátu vypadají vodíková data vizuálněji a srozumitelněji, což usnadňuje práci s nimi.
7. Díky digitálnímu formátu jsou informace o vodíku vždy dostupné a časem se neztratí.

Zvláštnosti:

Vodík o hmotnosti 40 g je vynikající digitální produkt, který vám umožní studovat fyziku a chemii přímo na vašem počítači.

S tímto digitálním produktem můžete studovat vlastnosti vodíku a jeho chování při různých teplotách.

Je velmi pohodlné mít přístup k tak zajímavému a užitečnému digitálnímu produktu, který pomáhá lépe porozumět světu kolem nás.

Tento digitální produkt je skvělou volbou pro ty, kteří jsou zapálení pro vědu a chtějí si prohloubit své znalosti fyziky a chemie.

S tímto digitálním produktem můžete provádět experimenty a studovat vlastnosti vodíku, aniž byste museli mít přístup k fyzickému vzorku.

Tento digitální produkt je skvělým nástrojem pro pedagogy, kteří chtějí, aby jejich hodiny byly interaktivnější a zábavnější.

Vodík o hmotnosti 40 g je vynikající digitální komodita pro ty, kteří chtějí studovat vlastnosti hmoty a její chování za různých podmínek.