Dievsky V.A. - Solution au problème D7 option 22 tâche 1

Tâche 1 : Détermination de la fréquence naturelle de vibration d'un système mécanique

Pour un système mécanique donné représenté sur le schéma, il est nécessaire de déterminer sa fréquence naturelle de vibration. Le système est en position d'équilibre et peut effectuer des oscillations libres autour de l'axe horizontal z passant par le point O.

Le système mécanique est constitué de corps rigidement fixés les uns aux autres : des tiges fines homogènes 1 et 2, une plaque homogène 3 et une charge ponctuelle 4. La masse de 1 m de longueur des tiges est de 25 kg, la masse de 1 m2 de la surface de la plaque est de 50 kg et la masse de la charge ponctuelle est de 20 kg. Les éléments élastiques ont un coefficient de rigidité c = 10 kN/m. Les dimensions de chaque partie du système sont indiquées en mètres.

Pour déterminer la fréquence propre des oscillations, il est nécessaire de la calculer à l'aide de la formule :

f = (1/2π) * √(k/m)

où f est la fréquence naturelle des oscillations, k est le coefficient de rigidité, m est la masse corporelle.

Pour chaque partie du système, on calcule sa masse et son coefficient de rigidité :

• Tige 1 : masse - 25 kg, k = 10 kN/m ;
• Tige 2 : masse - 25 kg, k = 10 kN/m ;
• Plaque 3 : masse - 50 kg, k = 20 kN/m ;
• Poids ponctuel 4 : masse - 20 kg, fixé au plan de la plaque 3.

Calculons la masse totale du système mécanique :

m = m1 + m2 + m3 + m4

où m1, m2, m3, m4 sont les masses de chaque partie du système.

m = 25 kg + 25 kg + 50 kg + 20 kg = 120 kg

Calculons le coefficient de rigidité du système :

k = k1 + k2 + k3

où k1, k2, k3 sont les coefficients de rigidité de chaque élément élastique.

k = 10 kN/m + 10 kN/m + 20 kN/m = 40 kN/m

Nous pouvons maintenant calculer la fréquence d’oscillation naturelle du système :

f = (1/2π) * √(k/m) = (1/2π) * √(40 kN/m / 120 kg) ≈ 0,68 Hz

Ainsi, la fréquence propre de vibration de ce système mécanique est d'environ 0,68 Hz.

Dievsky V.A. - Solution au problème D7 option 22 tâche 1

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