Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 7

N° 1.7. En este problema, necesitas crear ecuaciones para varios objetos geométricos basados ​​en puntos dados. Hay cuatro puntos: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) La ecuación del avión que pasa por los puntos A1, A2 y A3 se puede calcular mediante la fórmula de la ecuación general del avión:

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

Así, la ecuación del avión es A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0.

b) La ecuación de la recta A1A2 se puede encontrar utilizando la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) La ecuación de la recta A4M se puede encontrar utilizando la ecuación paramétrica de la recta y las coordenadas del punto M:

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) Para encontrar la ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2, puedes usar la ecuación paramétrica de la recta A1A2 y establecer un nuevo punto en la recta, por ejemplo N(3;7;1):

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 punto N: x = 3, y = 7, z = 1

h) La ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2 se puede encontrar utilizando la fórmula de ecuación general de un plano:

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

Así, la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 es: 4x + 6y - 2z - 2 = 0.

f) Para calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, puedes usar la fórmula para el seno del ángulo entre la recta y el plano, que se ve así:

pecado(ángulo) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

donde n es la normal al plano, d es el vector director de la recta. Sustituyendo los valores obtenemos:

pecado(ángulo) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

donde A1A4 es el vector que conecta los puntos A1 y A4.

Calculemos la normal al plano A1A2A3:

norte = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

Calculemos el vector director de la recta A1A4:

d = A4-A1 = (0,3,-5)

Ahora puedes calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3:

pecado(ángulo) = |(-18.6,-18)| / (|A1A4| * raíz cuadrada (360)) = 3 raíz cuadrada (5)/10.

g) Para calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el ángulo entre el vector normal del plano A1A2A3 y el vector que conecta el punto de intersección del plano A1A2A3 con el plano coordenado y el origen.

La normal al plano A1A2A3 se encontró en el punto a) y es igual a (-6,-12,12). El punto de intersección con el plano de coordenadas Oxy tiene coordenadas (2,0,0), entonces el vector que conecta el origen de coordenadas con el punto de intersección es igual a (2,0,0).

Entonces el coseno del ángulo entre el plano A1A2A3 y el plano coordenado Oxy es igual a:

cos(ángulo) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3.

N° 2.7. Para crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A(3;4;0) y una recta, primero debes encontrar el vector director de la recta. El vector director de la recta se puede encontrar utilizando la ecuación paramétrica de la recta, que se da en el párrafo b) del problema No. 1.7:

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

Ahora, usando la fórmula de la ecuación general del avión, podemos encontrar la ecuación del avión:

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

N° 3.7. Para encontrar el punto de intersección de una recta y un plano, es necesario resolver un sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la recta y la ecuación del plano.

La línea recta viene dada por la ecuación paramétrica:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

La ecuación del plano se da en forma estándar:

2x + 3y + z - 1 = 0

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano y resolvemos el sistema resultante:

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

Resolviendo la ecuación para t, obtenemos:

t = -5/26

Sustituyendo el valor encontrado de t en la ecuación paramétrica de la recta, obtenemos el punto de intersección:

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

Así, el punto de intersección de la recta y el plano es (135/26, 95/13, -10/13).

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1. Es necesario componer ecuaciones de rectas y planos, así como calcular el seno y el coseno de los ángulos entre ellos.
2. Necesitas crear una ecuación para un plano que pasa por un punto dado y una línea recta.
3. Necesitas encontrar el punto de intersección de una recta dada y un plano.

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