Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opção 7

Nº 1.7. Neste problema, você precisa criar equações para vários objetos geométricos com base em determinados pontos. São quatro pontos: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) A equação do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3 pode ser calculada usando a fórmula da equação geral do plano:

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

Assim, a equação do plano é A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0.

b) A equação da reta A1A2 pode ser encontrada usando a fórmula da equação paramétrica da reta:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) A equação da reta A4M pode ser encontrada usando a equação paramétrica da reta e as coordenadas do ponto M:

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) Para encontrar a equação da reta A3N paralela à reta A1A2, você pode usar a equação paramétrica da reta A1A2 e definir um novo ponto na reta, por exemplo N(3;7;1):

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 ponto N: x = 3, y = 7, z = 1

h) A equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 pode ser encontrada usando a fórmula da equação geral de um plano:

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

Assim, a equação do plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 é: 4x + 6y - 2z - 2 = 0.

f) Para calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, você pode usar a fórmula do seno do ângulo entre a reta e o plano, que se parece com isto:

sin(ângulo) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

onde n é a normal ao plano, d é o vetor de direção da reta. Substituindo os valores, obtemos:

sin(ângulo) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

onde A1A4 é o vetor que conecta os pontos A1 e A4.

Vamos calcular a normal ao plano A1A2A3:

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

Vamos calcular o vetor de direção da reta A1A4:

d = A4-A1 = (0,3,-5)

Agora você pode calcular o seno do ângulo entre a linha reta A1A4 e o plano A1A2A3:

sin(ângulo) = |(-18,6,-18)| / (|A1A4| * sqrt(360)) = 3sqrt(5)/10.

g) Para calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3, você precisa encontrar o ângulo entre o vetor normal do plano A1A2A3 e o vetor que conecta o ponto de intersecção do plano A1A2A3 com o plano coordenado e a origem.

A normal ao plano A1A2A3 foi encontrada no ponto a) e é igual a (-6,-12,12). O ponto de intersecção com o plano de coordenadas Oxy tem coordenadas (2,0,0), então o vetor que conecta a origem das coordenadas com o ponto de interseção é igual a (2,0,0).

Então o cosseno do ângulo entre o plano A1A2A3 e o plano coordenado Oxy é igual a:

cos(ângulo) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3.

Não. 2.7. Para criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A(3;4;0) e uma reta, você deve primeiro encontrar o vetor diretor da reta. O vetor de direção da reta pode ser encontrado usando a equação paramétrica da reta, que é dada no parágrafo b) do problema nº 1.7:

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

Agora, usando a fórmula da equação geral do plano, podemos encontrar a equação do plano:

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

Não. 3.7. Para encontrar o ponto de intersecção de uma reta e um plano, é necessário resolver um sistema de equações composto pela equação da reta e pela equação do plano.

A reta é dada pela equação paramétrica:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

A equação do plano é dada na forma padrão:

2x + 3y + z - 1 = 0

Substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolvemos o sistema resultante:

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

Resolvendo a equação para t, obtemos:

t = -5/26

Substituindo o valor encontrado de t na equação paramétrica da reta, obtemos o ponto de intersecção:

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

Assim, o ponto de intersecção da reta e do plano é (135/26, 95/13, -10/13).

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