Ryabushko A.P. IDZ 3.1 option 7

N° 1.7. Dans ce problème, vous devez créer des équations pour divers objets géométriques basées sur des points donnés. Il y a quatre points : A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) L'équation du plan passant par les points A1, A2 et A3 peut être calculée à l'aide de la formule de l'équation générale du plan :

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

Ainsi, l'équation du plan est A1A2A3 : 4x - 6y + 2z - 14 = 0.

b) L'équation de la droite A1A2 peut être trouvée à l'aide de la formule de l'équation paramétrique de la droite :

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) L'équation de la droite A4M peut être trouvée à l'aide de l'équation paramétrique de la droite et des coordonnées du point M :

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) Pour trouver l'équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2, vous pouvez utiliser l'équation paramétrique de la droite A1A2 et définir un nouveau point sur la droite, par exemple N(3;7;1) :

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 points N : x = 3, y = 7, z = 1

h) L'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 peut être trouvée à l'aide de la formule de l'équation générale d'un plan :

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

Ainsi, l'équation du plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 est : 4x + 6y - 2z - 2 = 0.

f) Pour calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, vous pouvez utiliser la formule du sinus de l'angle entre la droite et le plan, qui ressemble à ceci :

péché(angle) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

où n est la normale au plan, d est le vecteur direction de la ligne. En substituant les valeurs, on obtient :

péché(angle) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

où A1A4 est le vecteur reliant les points A1 et A4.

Calculons la normale au plan A1A2A3 :

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

Calculons le vecteur directeur de la droite A1A4 :

d = A4-A1 = (0,3,-5)

Vous pouvez maintenant calculer le sinus de l’angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 :

péché(angle) = |(-18.6,-18)| / (|A1A4| * carré(360)) = 3 carré(5)/10.

g) Pour calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, il faut trouver l'angle entre le vecteur normal du plan A1A2A3 et le vecteur reliant le point d'intersection du plan A1A2A3 avec le plan de coordonnées et l'origine.

La normale au plan A1A2A3 a été trouvée au point a) et est égale à (-6,-12,12). Le point d'intersection avec le plan de coordonnées Oxy a pour coordonnées (2,0,0), alors le vecteur reliant l'origine des coordonnées au point d'intersection est égal à (2,0,0).

Alors le cosinus de l'angle entre le plan A1A2A3 et le plan de coordonnées Oxy est égal à :

cos(angle) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3.

N° 2.7. Pour créer une équation pour un plan passant par le point A(3;4;0) et une droite, vous devez d’abord trouver le vecteur directeur de la droite. Le vecteur directeur de la droite peut être trouvé à l'aide de l'équation paramétrique de la droite, qui est donnée au paragraphe b) du problème n°1.7 :

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

Maintenant, en utilisant la formule de l’équation générale du plan, nous pouvons trouver l’équation du plan :

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

N° 3.7. Pour trouver le point d’intersection d’une droite et d’un plan, il faut résoudre un système d’équations composé de l’équation de la droite et de l’équation du plan.

La droite est donnée par l’équation paramétrique :

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

L'équation plane est donnée sous forme standard :

2x + 3y + z - 1 = 0

Nous substituons les équations paramétriques de la droite dans l'équation du plan et résolvons le système résultant :

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

En résolvant l’équation de t, on obtient :

t = -5/26

En substituant la valeur trouvée de t dans l'équation paramétrique de la droite, nous obtenons le point d'intersection :

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

Ainsi, le point d'intersection de la droite et du plan est (135/26, 95/13, -10/13).

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