Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 7

번호 1.7. 이 문제에서는 주어진 점을 기반으로 다양한 기하학적 객체에 대한 방정식을 만들어야 합니다. 네 개의 점이 있습니다: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면의 방정식은 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

따라서 평면의 방정식은 A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0입니다.

b) 직선 A1A2의 방정식은 직선의 매개변수 방정식에 대한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) 직선 A4M의 방정식은 직선의 매개변수 방정식과 점 M의 좌표를 사용하여 찾을 수 있습니다.

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) 선 A1A2와 평행한 선 A3N의 방정식을 찾으려면 선 A1A2의 매개변수 방정식을 사용하고 선에 새 점을 설정할 수 있습니다(예: N(3;7;1)).

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4점 N: x = 3, y = 7, z = 1

h) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

따라서 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 4x + 6y - 2z - 2 = 0입니다.

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산하려면 다음과 같은 직선과 평면 사이 각도의 사인 공식을 사용할 수 있습니다.

sin(각도) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

여기서 n은 평면의 법선이고, d는 선의 방향 벡터입니다. 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

sin(각도) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

여기서 A1A4는 점 A1과 A4를 연결하는 벡터입니다.

A1A2A3 평면에 대한 법선을 계산해 보겠습니다.

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

직선 A1A4의 방향 벡터를 계산해 보겠습니다.

d = A4-A1 = (0,3,-5)

이제 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산할 수 있습니다.

죄(각도) = |(-18.6,-18)| / (|A1A4| * sqrt(360)) = 3sqrt(5)/10.

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산하려면 평면 A1A2A3의 법선 벡터와 평면 A1A2A3과 좌표 평면의 교차점을 연결하는 벡터 사이의 각도를 찾아야합니다. 원산지.

평면 A1A2A3에 대한 법선은 점 a)에서 발견되었으며 (-6,-12,12)와 같습니다. 좌표평면 Oxy와의 교점은 좌표 (2,0,0)을 가지며, 교점과 좌표원점을 연결하는 벡터는 (2,0,0)과 같습니다.

그런 다음 평면 A1A2A3과 좌표 평면 Oxy 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

cos(각도) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3.

번호 2.7. 점 A(3;4;0)과 선을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들려면 먼저 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 선의 방향 벡터는 문제 번호 1.7의 b) 단락에 제공된 선의 매개변수 방정식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

이제 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용하여 평면의 방정식을 찾을 수 있습니다.

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

번호 3.7. 선과 평면의 교점을 찾으려면 선의 방정식과 평면의 방정식으로 구성된 연립방정식을 풀어야 합니다.

직선은 파라메트릭 방정식으로 제공됩니다.

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

평면 방정식은 표준 형식으로 제공됩니다.

2x + 3y + z - 1 = 0

직선의 매개변수 방정식을 평면 방정식으로 대체하고 결과 시스템을 해결합니다.

2(5-4톤) + 3(5+6톤) + 4톤 - 1 = 0

T에 대한 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

t = -5/26

발견된 t 값을 선의 매개변수 방정식에 대입하여 교차점을 얻습니다.

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

따라서 선과 평면의 교점은 (135/26, 95/13, -10/13)입니다.

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