Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 7

Nr. 1.7. Bei diesem Problem müssen Sie Gleichungen für verschiedene geometrische Objekte auf der Grundlage vorgegebener Punkte erstellen. Es gibt vier Punkte: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) Die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft, kann mit der Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene berechnet werden:

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

Somit lautet die Gleichung der Ebene A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0.

b) Die Gleichung der Geraden A1A2 kann mit der Formel für die parametrische Gleichung der Geraden ermittelt werden:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) Die Gleichung der Geraden A4M kann mithilfe der parametrischen Gleichung der Geraden und den Koordinaten des Punktes M ermittelt werden:

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) Um die Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2 zu finden, können Sie die parametrische Gleichung der Geraden A1A2 verwenden und einen neuen Punkt auf der Geraden setzen, zum Beispiel N(3;7;1):

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 Punkt N: x = 3, y = 7, z = 1

h) Die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, kann mithilfe der Formel für die allgemeine Gleichung einer Ebene ermittelt werden:

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

Somit lautet die Gleichung der Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: 4x + 6y - 2z - 2 = 0.

f) Um den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, können Sie die Formel für den Sinus des Winkels zwischen der Geraden und der Ebene verwenden, die wie folgt aussieht:

sin(Winkel) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

Dabei ist n die Normale zur Ebene und d der Richtungsvektor der Linie. Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:

sin(Winkel) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

wobei A1A4 der Vektor ist, der die Punkte A1 und A4 verbindet.

Berechnen wir die Normale zur Ebene A1A2A3:

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

Berechnen wir den Richtungsvektor der Geraden A1A4:

d = A4-A1 = (0,3,-5)

Jetzt können Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 berechnen:

sin(Winkel) = |(-18,6,-18)| / (|A1A4| * sqrt(360)) = 3sqrt(5)/10.

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu berechnen, müssen Sie den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene A1A2A3 und dem Vektor ermitteln, der den Schnittpunkt der Ebene A1A2A3 mit der Koordinatenebene verbindet und der Ursprung.

Die Normale zur Ebene A1A2A3 wurde in Punkt a) gefunden und ist gleich (-6,-12,12). Der Schnittpunkt mit der Koordinatenebene Oxy hat die Koordinaten (2,0,0), dann ist der Vektor, der den Koordinatenursprung mit dem Schnittpunkt verbindet, gleich (2,0,0).

Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen der Ebene A1A2A3 und der Koordinatenebene Oxy gleich:

cos(Winkel) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3.

Nr. 2.7. Um eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch Punkt A(3;4;0) und eine Linie verläuft, müssen Sie zunächst den Richtungsvektor der Linie ermitteln. Der Richtungsvektor der Geraden kann mithilfe der Parametergleichung der Geraden ermittelt werden, die in Absatz b) der Aufgabe Nr. 1.7 angegeben ist:

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

Wenn wir nun die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene verwenden, können wir die Gleichung der Ebene finden:

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

Nr. 3.7. Um den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene zu finden, müssen Sie ein Gleichungssystem lösen, das aus der Geradengleichung und der Ebenengleichung besteht.

Die Gerade ergibt sich aus der parametrischen Gleichung:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

Die Ebenengleichung wird in Standardform angegeben:

2x + 3y + z - 1 = 0

Wir setzen die parametrischen Gleichungen der Geraden in die Gleichung der Ebene ein und lösen das resultierende System:

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

Wenn wir die Gleichung nach t auflösen, erhalten wir:

t = -5/26

Wenn wir den gefundenen Wert von t in die Parametergleichung der Geraden einsetzen, erhalten wir den Schnittpunkt:

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

Somit ist der Schnittpunkt der Geraden und der Ebene (135/26, 95/13, -10/13).

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2. Sie müssen eine Gleichung für eine Ebene erstellen, die durch einen bestimmten Punkt und eine gerade Linie verläuft.
3. Sie müssen den Schnittpunkt einer bestimmten Geraden und einer Ebene finden.

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