里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 7

1.7 号。在这个问题中，您需要根据给定的点为各种几何对象创建方程。有四点：A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1)。

a) 通过 A1、A2、A3 点的平面方程可用平面一般方程公式计算：

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

因此，平面方程为 A1A2A3：4x - 6y + 2z - 14 = 0。

b) 直线 A1A2 的方程可以用直线参数方程的公式求出：

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) 利用直线参数方程和M点坐标可求出直线A4M的方程：

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) 要求与 A1A2 线平行的线 A3N 的方程，可以使用线 A1A2 的参数方程并在线上设置一个新点，例如 N(3;7;1)：

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 点 N：x = 3，y = 7，z = 1

h) 通过 A4 点并垂直于线 A1A2 的平面方程可由平面一般方程的公式求出：

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

因此，经过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程为：4x + 6y - 2z - 2 = 0。

f) 要计算直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦，可以使用直线与平面之间的角度的正弦公式，如下所示：

sin(角度) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

其中 n 是平面的法线，d 是直线的方向向量。代入这些值，我们得到：

sin(角度) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

其中 A1A4 是连接点 A1 和 A4 的向量。

让我们计算平面 A1A2A3 的法线：

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

我们来计算直线A1A4的方向向量：

d = A4-A1 = (0,3,-5)

现在您可以计算直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度的正弦：

sin(角度) = |(-18.6,-18)| / (|A1A4| * sqrt(360)) = 3sqrt(5)/10。

g) 要计算坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的夹角的余弦，需要找到平面 A1A2A3 的法向量与平面 A1A2A3 与坐标平面交点的连线向量之间的夹角，起源。

平面 A1A2A3 的法线位于 a) 点，等于 (-6,-12,12)。与坐标平面Oxy的交点坐标为(2,0,0)，则坐标原点与交点的连接向量等于(2,0,0)。

那么平面 A1A2A3 与坐标平面 Oxy 之间的夹角的余弦等于：

cos(角度) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3。

第 2.7 号。要为通过点 A(3;4;0) 和直线的平面创建方程，必须首先找到直线的方向向量。可以使用线的参数方程找到线的方向向量，该方程在问题 1.7 的 b) 段中给出：

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

现在，利用平面一般方程的公式，我们可以求出平面的方程：

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

第 3.7 号。要找到直线和平面的交点，您需要求解由直线方程和平面方程组成的方程组。

该直线由参数方程给出：

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

平面方程以标准形式给出：

2x + 3y + z - 1 = 0

我们将直线的参数方程代入平面方程并求解所得系统：

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

求解 t 的方程，我们得到：

时间=-5/26

将求得的 t 值代入直线的参数方程，得到交点：

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

因此，直线与平面的交点为(135/26, 95/13, -10/13)。

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