リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 7

1.7号。この問題では、与えられた点に基づいてさまざまな幾何学的オブジェクトの方程式を作成する必要があります。 4 つの点があります: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1)。

a) 点 A1、A2、および A3 を通過する平面の方程式は、平面の一般方程式の式を使用して計算できます。

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

したがって、平面の方程式は A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0 となります。

b) 直線 A1A2 の方程式は、直線のパラメトリック方程式の式を使用して求めることができます。

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) 直線 A4M の方程式は、直線のパラメトリック方程式と点 M の座標を使用して求めることができます。

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式を見つけるには、直線 A1A2 のパラメトリック方程式を使用し、直線上に新しい点 (例: N(3;7;1)) を設定します。

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 点 N: x = 3、y = 7、z = 1

h) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は、平面の一般方程式の式を使用して求めることができます。

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

したがって、点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は、4x + 6y - 2z - 2 = 0 となります。

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算するには、次のような直線と平面の間の角度の正弦の公式を使用できます。

sin(角度) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

ここで、n は平面の法線、d は線の方向ベクトルです。値を代入すると、次のようになります。

sin(角度) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

ここで、A1A4 は点 A1 と A4 を結ぶベクトルです。

平面 A1A2A3 の法線を計算してみましょう。

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

直線 A1A4 の方向ベクトルを計算してみましょう。

d = A4-A1 = (0,3,-5)

これで、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算できます。

sin(角度) = |(-18.6,-18)| / (|A1A4| * sqrt(360)) = 3sqrt(5)/10。

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を計算するには、平面 A1A2A3 の法線ベクトルと、平面 A1A2A3 と座標平面との交点を結ぶベクトルとの間の角度を見つける必要があります。起源。

平面 A1A2A3 の法線は点 a) で見つかり、(-6,-12,12) に等しくなります。座標平面 Oxy との交点の座標は (2,0,0) であるため、座標原点と交点を結ぶベクトルは (2,0,0) となります。

この場合、平面 A1A2A3 と座標平面 Oxy の間の角度の余弦は次と等しくなります。

cos(角度) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (sqrt(6^2+12^2+12^2) * sqrt(2^2)) = -sqrt( 3)/3。

2.7番。点 A(3;4;0) を通過する平面と直線の方程式を作成するには、まず直線の方向ベクトルを見つける必要があります。線の方向ベクトルは、問題番号 1.7 の段落 b) で与えられる線のパラメトリック方程式を使用して見つけることができます。

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

ここで、平面の一般方程式の公式を使用して、平面の方程式を求めることができます。

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

3.7番。直線と平面の交点を見つけるには、直線の方程式と平面の方程式から構成される連立方程式を解く必要があります。

直線はパラメトリック方程式で与えられます。

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

平面方程式は標準形式で与えられます。

2x + 3y + z - 1 = 0

直線のパラメトリック方程式を平面の方程式に代入し、結果として得られるシステムを解きます。

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

T の方程式を解くと、次のようになります。

t = -5/26

見つかった t の値を直線のパラメトリック方程式に代入すると、交点が得られます。

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

したがって、直線と平面の交点は (135/26、95/13、-10/13) になります。

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