Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 7

N. 1.7. In questo problema, devi creare equazioni per vari oggetti geometrici basati su determinati punti. Ci sono quattro punti: A1(5;5;4); A2(1;-1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;-1).

a) L'equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3 può essere calcolata utilizzando la formula dell'equazione generale del piano:

(5-1)(y+1) - (5+1)(x-1) + (4-4)(x-1) = 0

Pertanto, l'equazione del piano è A1A2A3: 4x - 6y + 2z - 14 = 0.

b) L'equazione della retta A1A2 si trova utilizzando la formula dell'equazione parametrica della retta:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) L'equazione della retta A4M si trova utilizzando l'equazione parametrica della retta e le coordinate del punto M:

x = 5 + t y = 8 + 3t z = -1 - 5t

d) Per trovare l'equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2, è possibile utilizzare l'equazione parametrica della retta A1A2 e impostare un nuovo punto sulla retta, ad esempio N(3;7;1):

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4 punto N: x = 3, y = 7, z = 1

h) L'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 può essere trovata utilizzando la formula per l'equazione generale di un piano:

4(x-5) + 6(y-5) - 2(z-4) = 0

Pertanto, l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 è: 4x + 6y - 2z - 2 = 0.

f) Per calcolare il seno dell'angolo tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3, è possibile utilizzare la formula del seno dell'angolo tra la retta e il piano, che è simile a questa:

sin(angolo) = |(n, d)| / (|n| * |d|),

dove n è la normale al piano, d è il vettore direzione della linea. Sostituendo i valori otteniamo:

sin(angolo) = |(A1A4, n)| / (|A1A4| * |n|),

dove A1A4 è il vettore che collega i punti A1 e A4.

Calcoliamo la normale al piano A1A2A3:

n = (A2-A1) x (A3-A1) = (-6,-12,12)

Calcoliamo il vettore direzione della retta A1A4:

d = A4-A1 = (0,3,-5)

Ora puoi calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3:

sin(angolo) = |(-18,6,-18)| / (|A1A4| * quadrato(360)) = 3 quadrato(5)/10.

g) Per calcolare il coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3, è necessario trovare l'angolo tra il vettore normale del piano A1A2A3 e il vettore che collega il punto di intersezione del piano A1A2A3 con il piano delle coordinate e l'origine.

La normale al piano A1A2A3 è stata trovata nel punto a) ed è pari a (-6,-12,12). Il punto di intersezione con il piano delle coordinate Oxy ha coordinate (2,0,0), quindi il vettore che collega l'origine delle coordinate con il punto di intersezione è uguale a (2,0,0).

Allora il coseno dell'angolo compreso tra il piano A1A2A3 e il piano delle coordinate Oxy è uguale a:

cos(angolo) = (0,0,1) * (-6,-12,12) / (quadrato(6^2+12^2+12^2) * quadrato(2^2)) = -quadrato( 3)/3.

N. 2.7. Per creare un'equazione per un piano passante per il punto A(3;4;0) e una linea, devi prima trovare il vettore direzione della linea. Il vettore direzione della linea può essere trovato utilizzando l'equazione parametrica della linea, riportata nel paragrafo b) del problema n. 1.7:

d = A2-A1 = (-4,-6,0)

Ora, utilizzando la formula per l'equazione generale del piano, possiamo trovare l'equazione del piano:

-4(x-3) - 6(y-4) + z = 0

N. 3.7. Per trovare il punto di intersezione tra una linea e un piano, è necessario risolvere un sistema di equazioni formato dall'equazione della linea e dall'equazione del piano.

La retta è data dall'equazione parametrica:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

L'equazione del piano è data in forma standard:

2x + 3y + z - 1 = 0

Sostituiamo le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano e risolviamo il sistema risultante:

2(5-4t) + 3(5+6t) + 4t - 1 = 0

Risolvendo l'equazione per t, otteniamo:

t = -5/26

Sostituendo il valore trovato di t nell'equazione parametrica della retta, otteniamo il punto di intersezione:

x = 5 - 4*(-5/26) = 135/26 y = 5 + 6*(-5/26) = 95/13 z = 4*(-5/26) = -10/13

Pertanto, il punto di intersezione della linea e del piano è (135/26, 95/13, -10/13).

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1. È necessario comporre equazioni di rette e piani, nonché calcolare il seno e il coseno degli angoli tra loro.
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3. Devi trovare il punto di intersezione di una determinata linea e un piano.

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