Solución al problema 20.5.7 de la colección de Kepe O.E.

Tarea 20.5.7

Con un poco de suerte:

El potencial cinético de un sistema mecánico está determinado por la expresión L = 16x2 + 20x. Valores iniciales: x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

Encontrar:

El valor de la coordenada x generalizada en el tiempo t = 3 s.

Respuesta:

Para encontrar la coordenada generalizada x, es necesario resolver la ecuación de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Para este sistema:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\L parcial}{\x parcial}=32x$$

Sustituyendo las expresiones en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

$$\frac{dx}{dt}=x$$

Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos:

$$x=Qué^{t}$$

Usando las condiciones iniciales, encontramos la constante C:

$$x|_{t=0}=0=Qué^{0}$$

$$C=0$$

Por tanto, la coordenada x generalizada es cero en cualquier momento.

Según las condiciones iniciales dadas, el sistema se mueve con velocidad cero y no tiene energía cinética. El valor de la coordenada generalizada x no cambia con el tiempo y siempre es igual a cero.

Solución al problema 20.5.7 de la colección de Kepe O.?.

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Descripción del Producto

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Al resolver el problema, analizaremos en detalle los métodos de solución utilizados para resolver este problema y proporcionaremos un algoritmo detallado que lo ayudará a resolver este problema fácil y rápidamente.

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Presentamos a su atención un producto digital: una solución al problema 20.5.7 de la colección de Kepe O.?. Este problema está relacionado con determinar el valor de la coordenada generalizada x del sistema mecánico en el tiempo t = 3 s, si al inicio del movimiento x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

Nuestra solución es un producto digital que se puede comprar en nuestra Tienda de Productos Digitales. Se presenta en formato HTML, con un bonito diseño y estructura clara. Al resolver el problema, analizaremos en detalle los métodos de solución utilizados para resolver este problema y proporcionaremos un algoritmo detallado que lo ayudará a resolver este problema fácil y rápidamente.

El primer paso para resolver el problema es escribir la ecuación de Lagrange de segundo tipo para un sistema mecánico dado:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Para este sistema:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\L parcial}{\x parcial}=32x$$

Sustituyendo las expresiones en la ecuación de Lagrange, obtenemos:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos:

$$x=Qué^{t}$$

Usando las condiciones iniciales, encontramos la constante C:

$$x|_{t=0}=0=Qué^{0}$$

$$C=0$$

Por tanto, la coordenada x generalizada es cero en cualquier momento. Según las condiciones iniciales dadas, el sistema se mueve con velocidad cero y no tiene energía cinética. El valor de la coordenada generalizada x no cambia con el tiempo y siempre es igual a cero.

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Problema 20.5.7 de la colección de Kepe O.?. está asociado con la determinación del valor de la coordenada generalizada en el tiempo t=3 segundos para un sistema mecánico con potencial cinético L=16x^2+20x, donde x es la coordenada generalizada. Condiciones iniciales del problema: x|t=0=0, x'|t=0=2 m/s.

Para resolver el problema, es necesario utilizar el principio de mínima acción, según el cual la verdadera trayectoria del sistema corresponde al extremo de la acción. La acción para este sistema se puede escribir como una integral de la función de Lagrange L(x,x',t):

S = ∫L(x, x', t)dt

donde L(x,x',t) = T - V - energías cinética y potencial del sistema, respectivamente.

Para encontrar el valor de la coordenada generalizada x en el tiempo t=3 segundos, es necesario resolver la ecuación de Euler-Lagrange para la función de Lagrange L(x,x',t):

(d/dt)(∂L/∂x') - ∂L/∂x = 0

Resuelta esta ecuación, obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden que se puede resolver mediante métodos numéricos. Como resultado de resolver esta ecuación, obtenemos el valor de la coordenada generalizada x en el tiempo t=3 segundos, igual a 8,81.

Así, para resolver el problema 20.5.7 de la colección de Kepe O.?. es necesario aplicar el principio de acción mínima y resolver la ecuación de Euler-Lagrange para la función de Lagrange L(x,x',t), y luego usar métodos numéricos para encontrar el valor de la coordenada generalizada x en el tiempo t=3 segundos.

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