Lösung zu Aufgabe 7.6.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 7.6.7:

Für einen Punkt, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, die durch die Formeln $v_x = 0,2 t^2$, $v_y = 3$ m/s gegeben ist, muss seine Tangentialbeschleunigung zum Zeitpunkt $t=2,5$ s bestimmt werden.

Antwort:

Die Tangentialbeschleunigung eines Punktes zum Zeitpunkt $t$ wird durch die Formel bestimmt:

$a_\text{т} = \sqrt{\left(\dfrac{dv_x}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dv_y}{dt}\right)^2}$

Ermittlung der Ableitungen von Geschwindigkeiten:

$\dfrac{dv_x}{dt} = 0,4t$ m/s$^2$

$\dfrac{dv_y}{dt} = 0$ м/с$^2$

Wir setzen die Werte der Ableitungen und die Zeit $t=2,5$ s in die Formel für die Tangentialbeschleunigung ein:

$a_\text{т} = \sqrt{\left(0,4 \cdot 2,5\right)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$ м/с$^2$

Antwort: $a_\text{t} = 1$ m/s$^2$.

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Lösung zu Aufgabe 7.6.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. verbunden mit der Bestimmung der Tangentialbeschleunigung zum Zeitpunkt t = 2,5 s. Es wird angenommen, dass die Projektion der Geschwindigkeit entlang der x-Achse gleich 0,2t^2 ist und die Projektion der Geschwindigkeit entlang der y-Achse gleich 3 m/s ist. Es ist notwendig, die Tangentialbeschleunigung zum Zeitpunkt t = 2,5 s zu ermitteln.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Ableitung der Geschwindigkeitsprojektion entlang der x-Achse nach der Zeit zu ermitteln und dann den Zeitwert t = 2,5 s in den resultierenden Ausdruck einzusetzen. Der resultierende Wert ist die Tangentialbeschleunigung zum angegebenen Zeitpunkt.

Der Ausdruck für die Geschwindigkeitsprojektion entlang der x-Achse kann als vx = 0,2t^2 geschrieben werden. Finden wir die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit t:

dvx/dt = d/dt (0,2t^2) = 0,4t

Ersetzen wir den Zeitwert t = 2,5 s:

dvx/dt |t=2,5 = 0,4 x 2,5 = 1

Somit beträgt die Tangentialbeschleunigung zum Zeitpunkt t = 2,5 s 1 m/s^2. Antwort: 1 m/s^2 = 0,385.

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