Lösung für Aufgabe 20.6.1 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe: Bestimmen Sie aus der Differentialgleichung der Bewegung des Systems, das der verallgemeinerten Koordinate x2 entspricht, die Beschleunigung x2 zu dem Zeitpunkt, zu dem die Beschleunigung x1 5 m/s2 und die verallgemeinerte Kraft Qx2 2,5 N beträgt. Die kinetische Energie des System wird durch die Formel T = 0,25x12 + 0,25(x12 + x1x2 + x22) bestimmt.

Antwort:

Die Differentialgleichung der Bewegung des Systems in verallgemeinerten Koordinaten hat die Form:

d/dt (∂T/∂x˙i) - (∂T/∂xi) = Qi, wobei i = 1, 2.

Berechnen wir die partiellen Ableitungen der kinetischen Energie des Systems:

∂T/∂x˙1 = 0,5x1 ∂T/∂x˙2 = 0,5(x1 + x2)

∂T/∂x1 = 0,5x1 ∂T/∂x2 = 0,5x2 ∂T/∂x1˙∂x2 = ∂T/∂x2˙∂x1 = 0,25

Setzen wir die erhaltenen Werte in die Differentialbewegungsgleichung des Systems ein:

d/dt (0,5x1) - 0,5x1 = 0 d/dt (0,5(x1 + x2)) - 0,5x1 = 2,5

Wenn wir davon ausgehen, dass die Beschleunigung x1 5 m/s2 beträgt, erhalten wir:

0,5x1¨ - 0,5x1 = 0 0,5(x1¨ + x2¨) - 0,5x1 = 2,5

Lassen Sie uns x1¨ aus der ersten Gleichung ausdrücken und in die zweite Gleichung einsetzen:

x1¨ = x1/2 0,5(x1/2 + x2¨) - 0,5x1 = 2,5 x2¨ = 2,5 - x1/2 = 2,5 - 5/2 = 2,5

Antwort: Die Beschleunigung x2 zu dem Zeitpunkt, an dem die Beschleunigung x1 5 m/s2 beträgt und die allgemeine Kraft Qx2 2,5 N beträgt, ist gleich 2,5 m/s2.

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Die Lösung des Problems basiert auf der Differentialgleichung der Bewegung des Systems in verallgemeinerten Koordinaten und der Berechnung partieller Ableitungen der kinetischen Energie des Systems. Nach Einsetzen der bekannten Werte in die Differentialgleichung wurde die Beschleunigung x2 gefunden, die 2,5 m/s2 entspricht.

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